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高三周考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（ ）
A．
∀x∈Z，2x∉A
B．
∀x∉Z，2x∈A
C．
∃x∈Z，2x∈A
D．
∃x∈Z，2x∉A
2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
3．（2021•烟台一模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（ ）
A．
B．
﹣
C．
2
D．
﹣2
4．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（ ）
A．
等腰三角形
B．
直角三角形
C．
等腰三角形或直角三角形
D．
等腰直角三角形
5．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，则函数y=loga（x+1）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，给出下列四个结论：
①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2
其中正确结论的序号是（ ）
A．
①②
B．
②④
C．
②③
D．
③④
7．等差数列{an}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于（ ）
A．
60
B．
80
C．
90
D．
120
8．（5分）已知函数（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．
（﹣∞，﹣1）
B．
（﹣∞，1]
C．
[﹣1，0）
D．
（0，1]
9．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设a＝f(0)，b＝，c＝f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．
11． ．
12．（2022•广东模拟）计算÷= _________ ．
13．若，则= _________ ．
14．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{，则f（2x）＞0的解集为 _________ ．
15．给出下列命题：
①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；
②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；
③若logm3＜logn3＜0，则0＜m＜n＜1；
④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．
其中正确命题的序号是 _________ ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知全集U=R，集合A={}，B={x|}．
（Ⅰ）求（∁UA）∪B；
（Ⅱ）若集合C={x|x+m2≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
17．（12分）已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；
（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．
19.
20．（13分）已知公比为q的等比数列{an}是递减数列，且满足
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•an}的前n项和Tn．
21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．
（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线相互垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）当b=2﹣a，a＞0时，求F（x）的最大值；
（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．
高三数学试卷（文科）答案
一、选择题： 1-5 DBACC， 6-10 BCDAB
二、填空题 11． 12．-20 13．7 14．{x|x＜﹣1或x＞1} 15．①②④
16.
：A={}={}={y|≤y≤2}，
B={x|}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}，
∴∁UA={y|y＞2或y＜}，（∁UA）∪B={x|x≤1或x＞2}．
（Ⅱ）∵命题p是命题q的充分条件，
∴A⊆C，
∵C={x|x≥﹣m2}，∴﹣m2≤，
∴m2≥，∴m≥或m≤﹣
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
17．
解：=2sinxcosx+sin2x﹣cos2x==．
（I）∵2sin（2x﹣）≤2，∴函数f（x）的最大值为2．
由﹣+2kπ≤≤+2kπ⇒﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+⇒kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．
（II）∵，∴，又﹣＜＜，
∴=，，
∵sinB=3sinA，∴b=3a，
∵c=2，4=a2+9a2﹣2×a×3a，∴a2=，
∴S△ABC=absinC=×3a2sinC=×3××=．
18．
解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，
∴y=．
即矩形区域ABCD的面积
S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．
当且仅当6x=，即x=时取“=”，
∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．
20．
解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，
由a1+a2+a3=得a1+a3=
由以上得，
∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．
∵{an}是递减数列，故q=3舍去，
∴q=，由a2=，得a1=1．
故数列{an}的通项公式为an=（n∈N*）．
（II）由（I）知（2n﹣1）•an=，
∴Tn=1+++…+①，Tn=+++…++②．
①﹣②得：Tn=1++++…+﹣
=1+2（+++…+）﹣
=1+2•﹣=2﹣﹣，
∴Tn=3﹣．
21．
解：（I）f′（x）=，g'（x）=2x+b…（1分）
由题知，即 …（2分）
解得a=﹣，b=﹣2．
（Ⅱ）当b=2﹣a时，F（x）=alnx﹣[x2+（2﹣a）x]，
∴F′（x）=﹣2x﹣（2﹣a）==，﹣﹣﹣﹣（6分）
∵a＞0，∴＞0，又x＞0，x+1＞0，
则由F′（x）=0，解得x=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
F（x）与F′（x）的变化状况如下表：
x
（0，）
（ ，+∞）
F′（x）
+
0
﹣
F（x）
↗
极大值
↘
∴F（x）max=F（）=aln﹣[]=aln+﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（Ⅲ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），F′（x）=﹣2x﹣b
由题知，即，即解得a=6，b=﹣1…（11分）
∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），F′（x）=﹣2x+1=，
∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2
∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，
故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（12分）
又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0
∴x0∈（3，4），故n=3 …（14分）
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