资源描述
第2讲 等差数列及其前n项和
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·温州二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－＝1，则其公差d＝ ( )
A． B．2
C．3 D．4
解析 由－＝1，得－＝1，
即a1＋d－＝1，∴d＝2.
答案 B
2．(2022·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝ ( )
A．2 B．－2
C． D．－
解析 由题意知S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，由于S1，S2，S4成等比数列，所以S＝S1·S4，
即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－，故选D．
答案 D
3．(2021·石家庄模拟)已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 ( )
A．24 B．39
C．104 D．52
解析 由于{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所以a4＋a10＝8，其前13项的和为＝＝＝52，故选D．
答案 D
4．(2021·广州综合测试)设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为 ( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析 依题意得S11＝＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak＝24＝2a6，因此3＋k＝2×6＝12，k＝9，故选A．
答案 A
5．(2022·武汉调研)已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为 ( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
解析 由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开头是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或8，故选C．
答案 C
二、填空题
6．(2022·肇庆二模)在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.
解析 a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.
答案 99
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
解析 由题意知
解得
∴a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.
答案 －1
8．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________.
解析 ∵{an}为等差数列，
∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3
＝2(36－9)－9＝45.
答案 45
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N*)．求证：数列{an}为等差数列，并求an与Sn.
证明 由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，
即an－an－1＝4，
故数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．
于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N*)．
10．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；
(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
解 (1)由于数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.
(2)由于数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.
故a1的取值范围是(－5,2)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2021·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为 ( )
A． B．
C． D．
解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a－2m，a－m，a，a＋m，a＋2m，则有
解得a＝20，m＝，a－2m＝＝，即其中最小一份为，故选A．
答案 A
12．(2022·杭州质量检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则 ( )
A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7
解析 由条件得＜，
即＜，
所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D．
答案 D
13．(2022·陕西卷)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为________.
解析 由已知易知fn(x)＞0，∵fn＋1(x)＝f(fn(x))＝，∴＝＝＋1⇒－＝1，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×1＝，
∴fn(x)＝，
∴f2 014(x)＝.
答案
14．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
解 (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，
故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
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