2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题四-第三讲-函数的综合运用15-【要点导学】.docx

函数性质的综合应用例1设f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.(1) 求f()的值;(2) 当-4x4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3) 写出定义域内函数f(x)的单调区间.【分析】(1) 先查找函数的周期,然后进行求值.(2) 利用周期性和对称性作出在-4x4上的函数的图象,然后分析可求得图形面积.(3) 先在一个周期中查找单调区间,然后利用周期性进行求解.【解答】(1) 由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2) 由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.(例1)当-4x4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=421=4.(3) 函数f(x)的单调增区间为4k-1,4k+1(kZ),单调减区间为4k+1,4k+3(kZ).【点评】对于分段函数的单调性,有两种基本的推断方法:一是在各个段上依据函数的解析式求出单调区间,最终对各个段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数的图象,结合函数图象性质进行直观推断.变式设a为常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=9x+7,若f(x)a+1对一切x0恒成立,则实数a的取值范围为.【答案】【解析】方法一:由题设知f(0)=0,故由f(0)a+1,得0a+1,即a-1.当x0时,f(x)=9x+-76-7=-6a-7,故-6a-7a+1,解得a-.综上可得实数a的取值范围是.方法二:同方法一,得a-1,当x0时,f(x)-6a-7,故-6a-7a+1,解得a-.综上可得实数a的取值范围是.方法三:同方法一,原问题就是9x2-(a+8)x+a20在x(0,+)上恒成立.考察二次函数g(x)=9x2-(a+8)x+a2的图象,由于g(0)=a20,要使不等式9x2-(a+8)x+a20在x(0,+)上恒成立,只需0,解得a-或a;或解得af.又a-1,得实数a的取值范围是.【点评】函数的综合问题涉及到几乎全部类型的函数,如一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数,简洁的分式函数,分段函数、复合函数也有所涉及.重点考查函数的三大性质(单调性、奇偶性与周期性),二次函数的图象与性质、三次函数、导数及其几何意义等,利用导数争辩函数的性质,如单调性、极值与最值,利用函数的图象解题.函数应用题例2A城市的出租车计价方式为:若行程不超过3 km,则按“起步价”10元计价;若行程超过3 km,则之后的2 km以内的行程按“里程价”计价,单价为1.5元/km;若行程超过5 km,则之后的行程按“返程价”计价,单价为2.5元/km.设某人的出行行程为x km,现有两种乘车方案:乘坐一辆出租车;每5km换乘一辆出租车.(1) 分别写出两种乘车方案计价的函数关系式;(2) 对不同的行程,两种方案中哪种方案的价格较低?请说明理由.【分析】在不同的行程的不同部分上,有不同的计价方式,因此本题是分段函数模型.【解答】(1) 设方案的计价函数为f(x),方案的计价函数为g(x),则f(x)=g(x)=(2) 当x(0,5时,f(x)=g(x);当x5时,方案的价格都比方案的价格低.理由如下:当x(5k,5k+3(kN*)时,f(x)-g(x)=13+2.5(x-5)-(13k+10)=2.5x-13k-9.5,由于x5k+3,所以f(x)-g(x)12.5k+7.5-13k-9.5=-0.5k-20.当x(5k+3,5k+5(kN*)时,f(x)-g(x)=13+2.5(x-5)-13k+10+1.5(x-5k-3)=x-5.5k-5,由于x5k+5,所以f(x)-g(x)-0.5k0.所以方案的价格较低.【点评】分段函数的特点:在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式.分段函数是一个函数,而不是几个函数.建立分段函数模型的关键是确定各段的边界点,即明确有变量的取值区间,分别对每一区间进行争辩,从而写出函数解析式.变式(2022常州期末)几名高校毕业生合作开3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元.该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,其次部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)(xN*)之间满足如下关系:当34x60时,t(x)=-a(x+5)2+10 050;当60x76时,t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(单位:元)(月利润=月销售总额-月总成本),求:(1) M关于销售价格x的函数关系式;(2) 该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.【解析】(1) 当x=60时,t(60)=1 600,代入t(x)=-a(x+5)2+10 050,解得a=2.所以M(x)=即M(x)=(2) 设g(u)=(-2u2-20u+10 000)(u-34)-20 000,34u60,uR,则g(u)=-6(u2-16u-1 780).令g(u)=0,解得u1=8-2(舍去),u2=8+2(50,51).当34u0,g(u)单调递增;当51u60时,g(u)0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.【分析】(1) 当m=0时,确定函数f(x)的表达式,通过求导来求函数的单调增区间;(2) 直线与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,可转化为方程有且只有一个解,然后分类进行争辩.【解答】(1) 由题意知为f(x)=-2x+3+lnx,所以f(x)=-2+=(x0).由f(x)0,得x.所以函数f(x)的单调增区间为.(2) 由f(x)=mx-m-2+,得f(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2.由题意得,关于x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解,即关于x的方程m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个解.令g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx(x0),则g(x)=m(x-1)-1+=(x0).当0m0,得0x;由g(x)0,得1x.所以函数g(x)在(0,1)上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.又g(1)=0,且当x趋向+时,g(x)趋向+,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点.故0m1时,由g(x)0,得0x1;由g(x)0,得x1不合题意.综上,实数m的值为1.【点评】大多数函数综合题都需要分类争辩,而且大多数都可归结为求解含参数的一元二次不等式(或方程),或求解含参数的分式不等式(或方程),或利用前面已证明不等式(或等式),求解不等式或(方程)等等.此外要机敏运用化归思想,数形结合思想,将简洁问题转化为生疏的情境.变式(2022南京、淮安三模)已知函数f(x)=lnx-mx(mR).(1) 若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;(2) 求函数f(x)在区间1,e上的最大值;(3) 若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2e2.【分析】(1) 求出y=f(x)的导函数,从而求出切线的斜率,从而求出方程;(2) 对m进行争辩,利用单调性求函数f(x)在区间1,e上的最大值;(3) 由x1,x2是函数f(x)的两个零点,可得到lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,结合所要证明的结果即证lnx1+lnx22,从而将它转化为lnx1+lnx2=m(x1+x2)2,再留意到lnx1-lnx2=m(x1-x2),由此消去m,从而构造出一个以x1,x2为元的不等式,再构造一个以为元的函数从而可以解决问题.【解答】(1) 由于点P(1,-1)在曲线y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1.由于f(x)=-1,所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=-1.(2) 由于f(x)=-m=.当m0时,x(1,e),f(x)0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.当e,即00,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.当1e,即m1时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,则f(x)max=f=-lnm-1.当1,即m1时,x(1,e),f(x)0,函数f(x)在(1,e)上单调递减,则f(x)max=f(1)=-m.综上所述,当m时,f(x)max=1-me;当mx20.由于f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2).要证明x1x2e2,即证明lnx1+lnx22,也就是m(x1+x2)2.由于m=,所以即证明,即ln.令=t,则t1,于是lnt.令(t)=lnt-(t1),则(t)=-=0.故函数(t)在(1,+)上是增函数,所以(t)(1)=0,即lnt成立.所以原不等式成立.创新型函数综合题例4对任意xR,给定区间(kZ),设函数f(x)表示实数x与x所属的给定区间内唯一整数之差的确定值.(1) 当x时,求函数f(x)的解析式;当x(kZ)时,写出用确定值符号表示的f(x)的解析式;(2) 求f,f的值,并推断函数f(x)(xR)的奇偶性,并证明你的结论;(3) 当a0.当x1时,|x-k|0logax,所以|x-k|-logax=0没有大于1的实根.当x=1时,简洁验证x=1为方程|x-k|-logax=0的实根.当x1时,对应的k=1,方程|x-k|-logax=0变为1-x-logax=0.设H(x)=logax-(1-x),则H(x)=logae+1=+1+1=-+10,故当xH(1)=0,方程没有属于的实根.当00,所以方程没有0x的实根.综上,若a1时,方程f(x)-loga=0有且仅有一个实根,且实根为1.【点评】本题是一个新定义型试题,实质是一个确定值函数.在求函数的零点或方程的根时,可用两种求法:一是代数法,可求方程f(x)=0的实数根,二是几何法,可与函数f(x)的图象联系起来,并用函数的性质找出零点.变式(2022苏州暑假调查)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.(1) 已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a(aR),试推断f(x)是否为“局部奇函数”,并说明理由;(2) 若f(x)=2x+m是定义在区间-1,1上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;(3) 若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.【分析】(1) 问题等价于推断方程f(x)+f(-x)=0是否有解;(2) 在方程f(x)+f(-x)=0有解时,通过分别参数求取值范围;(3) 在不便于分别参数时,通二次函数的图象推断一元二次方程根的分布.【解答】f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0有解.(1) 当f(x)=ax2+2x-4a(aR)时,方程f(x)+f(-x)=0,即2a(x2-4)=0,解得x=2,所以f(x)为“局部奇函数”.(2) 当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可化为2x+2-x+2m=0.由于f(x)的定义域为-1,1,所以方程2x+2-x+2m=0在-1,1上有解.令t=2x,则t,则-2m=t+.设g(t)=t+,则g(t)=1-=.当t(0,1)时,g(t)0,故g(t)在(1,+)上为单调增函数.所以当t时,g(t).所以-2m,所以m.(3) 当f(x)=4x-m2x+1+m2-3时,f(x)+f(-x)=0可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.设t=2x+2-x,则t2,+),则4x+4-x=t2-2,从而t2-2mt+2m2-8=0在2,+)上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.令F(t)=t2-2mt+2m2-8.当F(2)0时,t2-2mt+2m2-8=0在2,+)上有解,由F(2)0,即2m2-4m-40,解得1-m1+;当F(2)0时,t2-2mt+2m2-8=0在2,+)上有解等价于解得1+m2.综上,所求实数m的取值范围为1-,2.