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综合质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝{1,3,5,6}，N＝{1,2,4,7,9}，则M∪(∁UN)等于( )
A．{3,5,8} B．{1,3,5,6,8}
C．{1,3,5,8} D．{1,5,6,8}
解析：∵∁UN＝{3,5,6,8}，∴M∪(∁UN)＝{1,3,5,6,8}，故选B.
答案：B
2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩∁IC D．(A∩∁IB)∩C
解析：阴影部分位于集合A与集合C的内部，且位于集合B的外部，因此可表示为(A∩∁IB)∩C.
答案：D
3．已知函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则P点的坐标是( )
A．(1,8) B．(1,7)
C．(0,8) D．(8,0)
解析：过定点则与a的取值没有关系，所以令x＝1，此时f(1)＝8，所以P点的坐标是(1,8)．故选A.
答案：A
4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝和y＝()2
B．y＝lg(x2－1)和y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)
C．y＝logax2和y＝2logax
D．y＝x和y＝logaax
解析：要表示同一函数必需定义域、对应法则全都，A、B、C中的定义域不同，故选D.
答案：D
5．若x＝1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数h(x)＝ax2＋bx的零点是( )
A．0或－1 B．0或－2
C．0或1 D．0或2
解析：由于1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的零点，所以a＋b＝0，即a＝－b≠0，所以h(x)＝－bx(x－1)，令h(x)＝0，解得x＝0或x＝1.故选C.
答案：C
6．若lg x－lg y＝a，则lg3－lg3＝( )
A．3a B．a
C．a D．
解析：lg3－lg3＝3＝3(lg x－lg y)＝3a.
答案：A
7．设a＝22.5，b＝2.5，c＝2.5，则a，b，c之间的大小关系是( )
A．c>b>a B．c>a>b
C．a>c>b D．b>a>c
解析：a＝22.5>22＝4，b＝2.5<1＝0，c＝2.5<0＝1，又c＝2.5＞0，所以a>c>b，故选C.
答案：C
8．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A. B．
C. D．
解析：要使函数有意义，须使，
解得－＜x＜1.故选B.
答案：B
9．若实数x，y满足|x|－ln ＝0，则y关于x的函数的图象外形大致是( )
解析：只要把原函数化为
y＝|x|＝，
则正确答案不难得出．
答案：B
10．设函数若f(x0)＞1，则x0的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：当x0≤0时，2－x0－1＞1，即2－x0＞2，∴x0＜－1；
当x0＞0时，即x0＞1，
综上可知，x0＜－1或x0＞1，故选D.
答案：D
11．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.则当x∈[1,3]时，f(x)的最小值是( )
A．2 B．
C．－2 D．－
解析：当x＜0时，
f(x)＝2－，
在[－3，－1]内，当x＝－3时，f(x)有最大值2，
∵f(x)为奇函数，
∴其图象关于原点对称，
∴f(x)在[1,3]内存在最小值－2.
答案：C
12．对于定义域为R的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上与x轴均有交点，则称x0为函数f(x)的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是( )
A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)
B．f(x)＝|x2－1|
C．f(x)＝2－|x－1|
D．f(x)＝x3＋2x
解析：本题以新定义的形式考查了函数的单调性的学问．由于f(x)＝x3＋2x在(－∞，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，∴函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，∴函数f(x)＝x3＋2x不存在“界点”，故选D.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．已知集合M＝{(x，y)|y＝－x＋1}，N＝{(x，y)|y＝x－1}，那么M∩N为______．
解析：本题主要考查集合中点集的交集运算．由，得，∴M∩N＝{(1,0)}．
答案：{(1,0)}
14．已知函数f(x)＝，则f(f(2π))＝____________.
解析：本题主要考查分段函数函数值的求解．由于2π∈∁RQ，所以f(2π)＝0，所以f(f(2π))＝f(0)＝1.
答案：1
15．对于函数f(x)＝ln x的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0.
上述结论中正确结论的序号是______．
解析：本题考查对数函数的性质．函数f(x)＝ln x满足ln(x1·x2)＝ln(x1)＋ln(x2)；由函数f(x)＝ln x是增函数，知>0，即>0成立．故②③正确．
答案：②③
16．已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是______．
解析：本题主要考查指数函数及二次函数的图象和性质，也考查了一元二次方程根的个数问题等学问的应用．作出函数f(x)＝的图象，如图所示，直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m>0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－x(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，直线y＝mx与函数y＝x2＋1(x>0)的图象必有两个公共点，即方程mx＝x2＋1在x>0上有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0在x>0上有两个不等实根，则，解得m>.故实数m的取值范围是(，＋∞)．
答案：(，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知全集U＝R，A＝{x|2x－4>0}，B＝{x|2≤2x<16}，C＝{0,1,2}．
(1)求∁U(A∩B)；
(2)假如集合M＝(A∪B)∩C，写出M的全部真子集．
解：(1)∵A＝{x|x>2}，B＝{x|1≤x<4}， (2分)
A∩B＝{x|2<x<4}，(4分)
∴∁U(A∩B)＝(－∞，2]∪[4，＋∞)． (6分)
(2)∵(A∪B)∩C＝{x|x≥1}∩{0,1,2，}＝{1,2}， (8分)
∴集合M的真子集有∅，{1}，{2}． (12分)
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝log2；
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)推断f(x)的奇偶性并证明．
解：(1)由题可得>0，解得x<－1，或x>1， (2分)
所以定义域为∪(1，＋∞)． (4分)
设u＝＝1＋，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
u∈(0,1)∪(1，＋∞)， (6分)
∴y＝log2u，u∈(0，1)∪(1，＋∞)，
∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (8分)
(2)f(x)的定义域关于原点对称， (9分)
且f(x)＋f(－x)＝log2＋log2
＝log2＋log2
＝log2＝log2 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数． (12分)
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)≤.
解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0. (2分)
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝log2(－x)． (4分)
又f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)．
综上，f(x)＝ (6分)
(2)由(1)得f(x)≤等价于
或或 (9分)
解得0<x≤或x＝0或x≤－，
即所求x的集合为. (12分)
20．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓舞销售商订购，打算当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，依据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设销售商一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)当0<x≤100且x∈N*时，p＝60； (2分)
当100<x≤600且x∈N*时，
p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.(4分)
∴p＝ (5分)
(2)设该厂获得的利润为y元，则
当0<x≤100时且x∈N*，y＝60x－40x＝20x； (7分)
当100<x≤600时且x∈N*，
y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.(8分)
∴y＝ (9分)
当0<x≤100时且x∈N*，y＝20x是单调增函数，
∴当x＝100时，y最大，ymax＝20×100＝2 000； (10分)
当100<x≤600时且x∈N*，
y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，ymax＝ 6 050. (11分)
明显6 050>2 000，
∴当销售商一次订购550件时，该厂获得的利润最大，最大利润为6 050元．(12分)
21．(本小题满分12分)定义在[－1,1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)＝－22x＋a2x(a∈R)．
(1)求f(x)在[－1,0]上的解析式．
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a)．
解：(1)设x∈[－1,0]，
则－x∈[0,1]，f(－x)＝－2－2x＋a2－x. (2分)
又∵函数f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x)＝－2－2x＋a2－x，x∈[－1,0]． (4分)
(2)∵f(x)＝－22x＋a2x，x∈[0,1]，
令t＝2x，t∈[1,2]．
∴g(t)＝at－t2＝－2＋. (6分)
当≤1，即a≤2时，h(a)＝g(1)＝a－1； (8分)
当1<<2，即2<a<4时，
h(a)＝g＝； (10分)
当≥2，即a≥4时，h(a)＝g(2)＝2a－4.
综上所述，
h(a)＝ (12分)
22．(本小题满分14分)已知函数
f(x)＝
(1)写出该函数的单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)≤n2－2bn＋1对全部x∈[－1,1]，b∈[－1,1]恒成立，求实数n的取值范围．
解：(1)函数的图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(－∞，0)及(1，＋∞)． (2分)
(2)作出直线y＝m，函数g(x)＝f(x)－m恰有3个不同零点等价于直线y＝m与函数f(x)的图象恰有三个不同交点．(4分)
依据函数f(x)＝的图象， (6分)
又f(0)＝1，f(1)＝，
∴m∈，∴实数m的取值范围为. (8分)
(3)∵f(x)≤n2－2bn＋1对全部x∈[－1,1]恒成立，
∴[f(x)]max≤n2－2bn＋1，又[f(x)]max＝f(0)＝1， (10分)
∴n2－2bn＋1≥1，即n2－2bn≥0在b∈[－1,1]上恒成立．
∴h(b)＝－2nb＋n2在b∈[－1,1]上恒大于等于0.
∴即 (12分)
由①得或，解得n≥0或n≤－2；
同理由②得n≤0或n≥2.
∴n∈(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)，
∴n的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)． (14分)
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