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2022届高三第四次月考数学（文科）试卷
命题人：喻国标
一、选择题（125=60分）
1、 设i是虚数单位，复数i3＋＝（ ）
A．－i B．i C．－1 D．1
2、已知集合，集合，则（ ）
A．(-) B．(-] C．[-) D．[-]
3．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．2
4、设为正数，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
5、设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于（ ）
A． B．10 C．20 D．100
6、定义在R上的函数满足，且时，
，则（ ）
A．1 B． C． D．
7、已知为其次象限角，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
8、为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
9、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R.若·＝－2，则λ＝（ ）
A． B． C． D．2
10、若函数f（x）=sin 2xcos+cos 2x sin（x∈R），其中为实常数，且f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，记p=f（），q=f（），r=f（），则p、q、r的大小关系是（ ）
A．r<p<q B．q<r<p C．p<q<r D．q<p<r
11、已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．∪ B．∪
C．∪ D．∪
12、I是△ABC的重心，AB、AC的长分别为2、l，∠BAC=60°，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（45=20分）
13、计算：= ．
14、在中，已知，则 ．
15、已知，则在点处的切线方程为 ．
16、已知函数，若，且，则的取值范围为
．
三、解答题（17、18、19、20、21题各12分，22题10分，共计70分）
17、（本题12分）已知向量．
（1）若，求；
（2）求的最大值．
18、（本题12分）如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，
AC＝14，DC＝6，
（1）求∠ADC；
（2）求AB的长．
19、（本题12分）函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若
x＝时，y＝f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
20、（本题12分）已知函数f (x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R．
（1）求f (x)的最小正周期；
（2）当方程f (x) －4a=0 在闭区间上有两个不同的根时，求实数a的取值范围．
21、（本题12分）已知函数．
（1）当时,求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点,且,求证:；
22、（本题10分）已知函数f（x）＝｜2x－1｜＋｜2x＋a｜，g(x)＝x＋3.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）<g（x）的解集；
（2）设a>－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2022届高三第四次月考数学（文科）试卷答题卡
一、选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（4×5=20分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题
17、（12分）
18、（12分）
19、（12分）
20、（12分）
21、（12分）
22、（10分）
2022届高三第四次月考数学（文科）试卷参考答案
1-5 DBDBA 6-10 CAABC 11-12 AA
13、10 14、 15、 16、
17、解:（1）若，则，
由此得，所以；
（2）由得
当时，取得最大值，即当时，最大值为.
18、解：（1）在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得cos∠ADC＝
＝＝－，∴∠ADC＝120°，
（2）由（1）得∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝
＝＝＝5.
19、解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0 ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，
则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为x＝1，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，所以c＝5.
(2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
所以f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x＝－2或.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
13
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
20、解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2) 方程4f (x) －a=0有两个不同的根等价于y=f (x)与y=有两个不同交点。
由于f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f ＝－，
f ＝－，f ＝，结合图像可得－2< a
21、解：
(1)当时,,
令或,,
的递增区间为和,递减区间为.
(2)由于有两个极值点,则有两个不等的实根,
设
,在上递减,
,即.
22．解 (1)
当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(2)∵a>－1，则－<，
∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|
＝
当x∈时，f(x)＝a＋1，
即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．
∴a＋1≤－＋3，即a≤，
∴a的取值范围为.
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