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课时作业16 定积分
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．假如1 N能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，需做功( )
A．0.18 J B．0.26 J
C．0.12 J D．0.28 J
解析：设F＝kx，则由题可得k＝100，所以做功就是求定积分∫100xdx＝0.18(J)．
答案：A
2．若 (sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．－ D.
解析： (sinx－acosx)dx＝(－cosx－asinx) ＝－a＋1＝2，a＝－1.
答案：A
3．函数f(x)＝的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C．2 D.
解析：
答案：A
4．(2022·大连模拟)已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
解析：由于f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，所以f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.
答案：D
5．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx等于( )
A．3 B．4
C. D.
解析：f(x)＝2－|x|＝
答案：C
6．(2022·山东师大附中模拟)设a＝cosxdx，b＝sinxdx，下列关系式成立的是( )
A．a>b B．a＋b<1
C．a<b D．a＋b＝1
解析：a＝cosxdx＝sinx＝sin1，b＝sinxdx＝(－cosx)＝1－cos1，∴a＝sin1>sin＝，又cos1>cos＝，∴－cos1<－，b＝1－cos1<1－＝，∴a>b，选A.
答案：A
7．(2022·衡水中学模拟) (1＋cosx)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
解析：
答案：D
8．(2022·黄冈检测)如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A．|(x2－1)dx| B.(x2－1)dx
C.|x2－1|dx D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析：面积S＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·山东)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析：
答案：
10．(2022·汕头模拟)由三条曲线y＝x2，y＝，y＝1所围成的封闭图形的面积为________．
解析：解方程组和得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．
则S＝2[(x2－)dx＋(1－)dx]
＝2(x3|＋x|－x3|)＝.
答案：
11．(2022·玉溪一中月考)已知不等式1－<0的解集为(－1,2)，则(1－)dx＝________.
解析：由1－<0得<0，即(x＋a)(x＋a－3)<0，即－a<x<3－a，∵不等式的解集为(－1,2)，
∴，解得a＝1.∴(1－)dx＝(1－)dx＝(x－3ln(x＋1))|＝2－3ln3.
答案：2－3ln3
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝.
由可得，
抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，
＝∫(x－x2－kx)dx＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－.
13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得
，即，∴f(x)＝ax2＋2－a.
又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx
＝[ax3＋(2－a)x]|＝2－a＝－2，
∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.
14．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
解：面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积．
即S1＝t·t2－x2dx＝t3.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，
即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0时，得t＝0或t＝.
t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.
所以当t＝时，S最小，且最小值为.
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