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课时提升作业(六十一)
一、选择题
1.已知三棱锥S-ABC，在三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC<的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
2.（2021·烟台模拟）已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0}，A={(x,y)|x≤4，
y≥0，x-2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点B，则点B落入区域A的概率为( )
（A） （B） （C） （D）
3.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
(A) (B)
(C) (D)
4．已知P是△ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )
（A） （B） （C） （D）
5.(2021·龙岩模拟)若a，b在区间上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是( )
（A） （B） （C） （D）
6．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为( )
（A） （B） （C） （D）
7．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
(A) (B)
(C) (D)
8．(2021·海淀模拟)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为( )
（A） （B） （C） （D）
9.(2021·合肥模拟)扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C，D，E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图中全部的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )
（A） （B） （C） （D）
10.（力气挑战题）已知k∈［－2,2］，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y＝0相切的概率等于( )
（A） （B） （C） （D）不确定
二、填空题
11.(2021·徐州模拟)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为_____________．
12.(2021·江门模拟)设函数y＝f(x)在区间［0,1］上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间［0,1］上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为_____________.
13.函数f(x)＝x2－x－2，x∈［－5,5］，那么任取一点x0使f(x0)≤0的概率为_____________．
14.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是_____________．
三、解答题
15.（力气挑战题）设函数f(x)=x2+bx+c，其中b,c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求大事A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率.
(1)若随机数b,c∈{1,2,3,4}.
(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1},b,c是算法语句b=4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果．(注:符号“*”表示“乘号”)
答案解析
1.【解析】选A.如图，当时，有 即P为SO的中点，即当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，可计算由几何概型知，
2.【解析】选D.本题为几何概型，Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0}的面积为18，A={(x,y)|x≤4，y≥0，x-2y≥0}的面积为4，则
3.【解析】选A.∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰，
4．【解析】选D.由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为大事D，则
5.【思路点拨】f(x)在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0.
【解析】选C.易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2－12a2>0.又a，b在区间上取值，则a>0，满足点(a，b)的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为故所求的概率是
6．【解析】选A.设这两个实数分别为x，y，则满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为
7．【解析】选B.正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：则点P到点O的距离小于或等于1的概率为：故点P到点O的距离大于1的概率为：
8．【解析】选C.记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成果是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成果是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)．令90>(442＋x)，由此解得x<8，即x的可能取值是0～7，因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为选C.
9.【解析】选A.依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB，其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为的扇形)共有3个(即扇形AOD,EOC，BOD)，因此所求的概率等于
选A.
10.【解析】选B.∵圆的方程可化为∴5k＋k2＋4>0，∴k<－4或k>－1.
∵过A(1,1)可以作两条直线与圆相切，
∴A(1,1)在圆外，得
∴k<0，故k∈(－1,0)，其区间长度为1，由于k∈［－2,2］，其区间长度为4，所以
11.【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为又当m∈(0,3)时，
解得0<m<2，
答案：
12.【解析】这种随机模拟的方法是在［0,1］内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以依据比例关系而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为
答案：
【方法技巧】随机模拟法求面积的步骤
（1）用计算器或计算机产生一系列［0,1］内的随机数.
（2）经平移和伸缩变换，x＝（b－a）x1＋a，y＝（d－c）y1＋c，使得随机数x的范围在［a，b］内，随机数y的范围在［c，d］内.
（3）统计落在所求区域内的随机数组（x，y）的个数N（有时需计算检验）.
（4）应用公式计算近似的面积，其中S为相应矩形面积（b－a）×（d－c），M为总的随机数组（x，y）的个数，S′为所求图形（往往是不规章）的面积的近似值.
13.【解析】如图，在［－5,5］上函数的图象与x轴交于两点(－1,0)，(2,0)，而x0∈［－1,2］，f(x0)≤0.
所以
答案：0.3
14.【解析】以A，B，C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求，
答案：
15.【解析】由f(x)=x2+bx+c知，大事A “f(1)≤5且f(0)≤3”，即
(1)由于随机数b,c∈{1,2,3,4}，
所以共等可能地产生16个数对(b,c)，
列举如下：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).
大事A：包含了其中6个数对(b,c)，即：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),
(2,2),(3,1).
所以即大事A发生的概率为
(2)由题意，b,c均是区间［0,4］中的随机数，产生的点(b,c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积S(Ω)=16.
大事A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），
其面积为：
所以
即大事A发生的概率为
【变式备选】已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率.
(2)设x∈［0,3］，y∈［0,4］，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．
【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为大事A.
∵组成复数z的全部状况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种状况毁灭的可能性相等，属于古典概型，其中大事A包含的基本大事共2个：i,2i，∴所求大事的概率为
(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|}内，属于几何概型，该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.
而所求大事构成的平面区域为{(x，y)|}，
其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．
又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),
∴三角形OAD的面积为
∴所求大事的概率为
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