高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章-拓展资料：二项分布的应用.docx

二项分布的应用
二项分布是重要的离散型随机变量概率模型，在解决很多数学问题和现实生活问题中有着广泛的应用．应用二项分布解题，不仅能加深对学问的理解和把握，而且有利于创新思维力气的培育和提高．下面举例说明．
　　例1　证明．
　　分析：本题是二项式系数的重要性质，在二项式定理一节中是运用“赋值法”证明的．这里通过构建二项分布模型，给出颇具新意的巧证．
　　证明：记大事Ａ：“掷一均匀硬币毁灭正面对上”，则掷n次硬币，即进行n次独立重复试验中大事Ａ发生的次数Ｘ听从二项分布，即．
　　故．
　　由分布列和的性质得，
　　．
　　即．
　　点评：很多与正整数n有关的组合数求和问题，都可以通过构建二项分布模型得以创新解决．
　　例2　抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点Ｐ的横坐标，另一枚的点数为点Ｐ的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点Ｐ在圆内的次数Ｘ的分布列．
　　分析：先求出一次试验中，点Ｐ在圆内的概率Ｐ，然后由题意可知，从而求出其分布列．
　　解：由题意可知，Ｐ点的坐标可能有种状况，而符合题意的点只有下列8个：，那么在抛掷骰子时，点在圆内的概率为．由题意可知，所以；
　　；
；
．
故得的分布列为

0
1
2
3

点评：本题将分布列的计算与大事的概率结合起来，有利于我们提高分析、综合力气．
例3　某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦．已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否相互独立．
（1）现因当地供电紧急，供电部门只能供应50千瓦的电力．这10台机床能够正常工作的概率为多大？
（2）在一个工作班的８小时内，不能正常工作的时间大约是多少？
分析：明确题设含义，将问题转化为二项分布模型求解．
解：（1）设10台机床中实际开动的机床数为随机变量Ｘ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此．其中是每台机床开动的概率，由题意．从而．
依据题意，50千瓦电力可同时供应5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作．这一大事的概率为
．

（2）由（1）知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0．006，从而在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间只有大约８×60×0．006=2．88分钟，这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧急的影响．
点评：依据题意明确某一时刻正在工作的机床台数X听从二项分布是解题的关键，否则，就有可能造成解题的失误．