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[随堂演练]
1．如图所示，质量为m的钩码在弹簧秤的作用下竖直向上运动．设弹簧秤的示数为FT，不计空气阻力，重力加速度为g.则( )
A．FT＝mg时，钩码的机械能不变
B．FT<mg时，钩码的机械能减小
C．FT＝mg时，钩码的机械能减小
D．FT>mg时，钩码的机械能增加
解析：无论FT与mg的关系如何，FT与钩码位移的方向全都，FT做正功，钩码的机械能增加，选项D正确．
答案：D
2．(2022年亳州模拟)如图所示，a、b两小球静止在同一条竖直线上，离地面足够高，b球质量大于a球质量．两球间用一条细线连接，开头线处于松弛状态．现同时释放两球，球运动过程中所受的空气阻力忽视不计．下列说法不正确的是( )
A．下落过程中两球间的距离保持不变
B．下落后两球间距离渐渐增大，始终到细线张紧为止
C．下落过程中，a、b两球都处于失重状态
D．整个下落过程中，系统的机械能守恒
解析：两球同时释放后，圴做自由落体运动，加速度均为g，故两球均处于失重状态，且机械能守恒，两球间距也保持不变，A、C、D均正确，B错误．
答案：B
3．如图所示，一均质杆长为r，从图示位置由静止开头沿光滑面ABD滑动，AB是半径为r的圆弧，BD为水平面．则当杆滑到BD位置时的速度大小为( )
A. B.
C. D．2
解析：由机械能守恒定律得：mg·＝mv2，故v＝ ，故B对．
答案：B
4．(2022年黄山模拟)某消遣项目中，参与者抛出一小球去撞击触发器，从而进入下一关．现在将这个消遣项目进行简化，假设参与者从触发器的正下方以v的速率竖直上抛一小球恰好击中触发器．若参与者仍在刚才的抛出点，沿A、B、C、D四个不同的光滑轨道分别以速率v抛出小球，如图所示．则小球能够击中触发器的可能是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
解析：小球恰好击中触发器，上升的高度为h，由机械能守恒定律，有mv2＝mgh.①、②两种状况到达最高点，速度不为零，因此上上升度必定小于h，不能击中触发器．只有③、④到达最高点时速度可为零，上上升度为h，能恰好击中触发器，③、④正确．
答案：D
[限时检测]
(时间：45分钟，满分：100分)
[命题报告·老师用书独具]
学问点
题号
机械能是否守恒的推断
1、2、3
多物体系统的机械能守恒问题
5、10、11
单个物体的机械能守恒问题
6、7
多运动过程的机械能守恒问题
12
与弹簧有关的机械能守恒问题
4、8
机械能守恒定律的综合应用
9
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分，每小题只有一个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内)
1．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽视，运动员可视为质点，下列说法不正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的转变与重力势能零点的选取有关
解析：运动员到达最低点前，重力始终做正功，重力势能减小，选项A正确；绳张紧后的下落过程弹力始终做负功，弹性势能增加，选项B正确；除重力、弹力之外无其他力做功，故系统机械能守恒，选项C正确；重力势能的转变与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．
答案：D
2．如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能不守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球机械能的削减量等于斜劈动能的增加量
解析：球有竖直方向的位移，所以斜劈对球做功．不计一切摩擦，小球下滑过程中，只有小球和斜劈组成的系统中动能和重力势能的相互转化，系统机械能守恒，故选D.
答案：D
3．置于水平地面上的一门大炮，斜向上放射一枚炮弹．假设空气阻力可以忽视，炮弹可以视为质点，则下列说法不正确的是( )
A．炮弹在上升阶段，重力势能始终增大
B．炮弹在空中运动的过程中，动能始终增大
C．炮弹在空中运动的过程中，重力的功领先减小后增大
D．炮弹在空中运动的过程中，机械能守恒
解析：炮弹在空中运动时，动能先减小后增大．重力的功率亦是先减小后增大，由于忽视空气阻力，所以炮弹的机械能守恒，选项A、C、D正确．
答案：B
4．如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上(桌面足够大)，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开头时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是( )
A．B物体受到细线的拉力保持不变
B．B物体机械能的削减量等于弹簧弹性势能的增加量
C．A物体动能的增量等于B物体重力对B做的功与弹簧弹力对A做的功之和
D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功
解析：对A、B的运动分析可知，A、B做加速度越来越小的加速运动，直至A和B达到最大速度，从而可以推断细线对B物体的拉力越来越大，A选项错误；依据机械能守恒定律知，B的重力势能的削减转化为A、B的动能与弹簧的弹性势能的增加，据此可推断B、C选项错误；而A物体与弹簧组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功，由此可知D选项正确．
答案：D
5．如图所示，一很长的、不行伸长的松软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开头释放b后，a可能达到的最大高度为( )
A．h B．1.5h
C．2h D．2.5h
解析：在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，依据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝，b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能达到的最大高度为1.5h，B正确．
答案：B
6．(2022年高考浙江理综改编)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最终能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
解析：要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v>0，依据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝mv2，所以H>2R，故选项C正确，选项D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得水平位移x＝2，选项A、B错误．
答案：C
7．(2022年宿州模拟)用长度为l的细绳悬挂一个质量为m的小球，将小球移至和悬点等高的位置使绳自然伸直．放手后小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点的势能取作零，则小球运动过程中第一次动能和势能相等时重力的瞬时功率为( )
A．mg B.mg
C.mg D.mg
解析：设第一次小球动能与势能相等时的速度大小为v，细绳和水平方向间的夹角为θ，由机械能守恒定律得：mgl＝mv2＋Ep，Ep＝mv2，mglsin θ＝mv2，解得v＝，θ＝30°，故P＝mgvcos 30°＝mg，C正确．
答案：C
8.如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开头时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是( )
A．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
B．从A到B的过程中，小球的机械能削减
C．小球过B点时，弹簧的弹力为mg－m
D．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
解析：从A到B的过程中，因弹簧对小球做负功，小球的机械能将削减，A错误、B正确；在B点对小球应用牛顿其次定律可得：FB－mg＝m，解得FB＝mg＋m，C、D错误．
答案：B
9.(2022年皖南九校联考)如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，小球在最低点的瞬时速度必需满足( )
A．最小值，最大值
B．最小值，最大值
C．最小值，最大值
D．最小值，最大值
解析：要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得，mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时对环的压力为2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得：mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为.
答案：C
10．(2022年合肥调研)如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过轻绳连结在一起，跨过光滑的定滑轮，圆环套在光滑的竖直杆上，设杆足够长．开头时连接圆环的绳处于水平，长度为l，现从静止释放圆环．不计定滑轮和空气的阻力，以下说法正确的是( )
①当M＝2m时，l越大，则小环m下降的最大距离h越大
②当M＝2m时，l越大，则小环m下降的最大距离h越小
③当M＝m，且l确定时，则小环m下降过程中速度先增大后减小到零
④当M＝m，且l确定时，则小环m下降过程中速度始终增大
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：由系统机械能守恒可得mgh＝Mg(－l)，当M＝2m时，h＝l，所以①正确；当M＝m时，小环在下降过程中系统的重力势能始终在削减，即系统的动能始终在增加，所以④正确．
答案：B
二、非选择题(本题共2小题，共30分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)
11．(15分)如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为 m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开头下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；
(2)此过程中杆对B球所做的功．
解析：(1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒．两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，依据机械能守恒定律有：mgh＋mg(h＋Lsin θ)＝2×mv2，
解得：v＝
(2)依据动能定理，对B球有
W＋mgh＝mv2
得W＝mv2－mgh＝mgLsin θ.
答案：(1) (2)mgLsin θ
12．(15分)(2022年池州模拟)如图所示，粗糙弧形轨道和两个光滑半圆轨道组成翘尾巴的S形轨道．光滑半圆轨道半径为R，两个光滑半圆轨道连接处CD之间留有很小空隙，刚好能够使小球通过，CD之间距离可忽视．粗糙弧形轨道最高点A与水平面上B点之间的高度为h.从A点静止释放一个可视为质点的小球，小球沿翘尾巴的S形轨道运动后从E点水平飞出，落到水平地面上，落点到与E点在同一竖直线上B点的距离为s.已知小球质量m，不计空气阻力，求：
(1)小球从E点水平飞出时的速度大小；
(2)小球运动到半圆轨道的B点时对轨道的压力；
(3)小球沿翘尾巴S形轨道运动时克服摩擦力做的功．
解析：(1)小球从E点水平飞出做平抛运动，设小球从E点水平飞出时的速度大小为vE，由平抛运动规律，
s＝vEt,4R＝gt2
联立解得vE＝
(2)小球从B点运动到E点的过程，机械能守恒
mv＝mg·4R＋mv
解得v＝8gR＋
在B点由牛顿其次定律F－mg＝m
得F＝9mg＋
由牛顿第三定律可知小球运动到B点时对轨道的压力为
F′＝9mg＋，方向竖直向下．
(3)设小球沿翘尾巴的S形轨道运动时克服摩擦力做的功为W，则
mg(h－4R)－W＝mv
得W＝mg(h－4R)－
答案：(1) (2)9mg＋，方向竖直向下
(3)mg(h－4R)－
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