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课时提升作业(十二)
一、选择题
1.(2021·贺州模拟)某种细菌在培育过程中,每20分钟分裂一次,经一次分裂,1个细菌分裂成2个,经过3小时,这种细菌由1个可繁殖为( )
(A)511个 (B)512个 (C)1023个 (D)1024个
2.储油30 m3的油桶,每分钟流出m3的油,则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量时的函数的定义域为( )
(A)[0,+∞) (B)[0,]
(C)(-∞,40] (D)[0,40]
3.(2021·北京模拟)猜想人口的变化趋势有多种方法,“直接推算法”使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>-1),其中Pn为猜想人口数,P0为初期人口数,k为猜想年内增长率,n为猜想期间隔年数.假如在某一时期有-1<k<0,那么这期间人口数( )
(A)呈上升趋势 (B)呈下降趋势
(C)摇摆变化 (D)不变
4.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,其次个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
(A)y=100x (B)y=50x2-50x+100
(C)y=50×2x (D)y=100log2x+100
5.一辆汽车从甲地开往乙地,中途曾停车休息了一段时间,假如用横轴表示时间t,纵轴表示汽车行驶的路程s,那么下图中,较好地反映了s与t的函数关系的是
( )
6.(2021·河池模拟)把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
(A)cm2 (B)4 cm2
(C)3cm2 (D)2cm2
7.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是( )
(A)x>22%
(B)x<22%
(C)x=22%
(D)x的大小由第一年的产量确定
8.某市人口与上一年相比的状况是:2010年比2009年增加1%,2011年又增加了1%,2022年削减1%,2021年又削减1%,则2022年人口数与2009年相比是( )
(A)增加1% (B)削减1%
(C)不增不减 (D)削减0.02%
9.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运. 据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图所示),每辆客车营运的平均利润最大时需( )
(A)3年 (B)4年 (C)5年 (D)6年
10.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)确定,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4),若从甲地到乙地一次通话时间为5.5分钟,则电话费为( )
(A)3.71元 (B)3.97元 (C)4.24元 (D)4.77元
11.某种商品2021年提价25%,2022年要恢复到原价,则应降价( )
(A)30% (B)25% (C)20% (D)15%
二、填空题
12.随着计算机技术的不断进展,电脑的性能越来越好,而价格又在不断降低,若每隔两年电脑的价格降低三分之一,则现在价格为8100元的电脑6年后的价格可降为 元.
13.每次用同体积的水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢的,若洗x次后存留的污垢在1%以下,则x的最小值是 .
14.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元.
15.(力气挑战题)某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他期望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为 .
三、解答题
16.(力气挑战题)估量某地区明年从年初开头的前x个月内,对某种商品的需求总量f(x)(万件)近似满足:f(x)=x(x+1)(35-2x)(x∈N*,且x≤12)
(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式,并求出哪个月份的需求量超过192万件.
(2)假如将该商品每月都投放市场P万件,要保证每月都满足供应,P应至少为多少万件?(不计积压商品)
答案解析
1.【解析】选B.3小时=9×20分钟,共分裂9次,∴1个细菌可繁殖为29=512(个).
2.【解析】选D.Q=30-t,由于30-t≥0,∴t≤40,
又∵t≥0,∴定义域为[0,40],故选D.
3.【解析】选B.由于-1<k<0,所以0<1+k<1,因此Pn为关于n的递减函数.故选B.
4.【解析】选C.题目中的数据依次接近成倍增长,其特点接近指数型,故选C.
5.【解析】选C.由于中途停车休息,故此段时间内行驶路程s不变.
【变式备选】如图,火车匀速通过隧道(隧道长大于火车长)时,火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是( )
【解析】选A.随着火车进入隧道的时间x的增加,火车在隧道内的长度y从0开头,渐渐增大.当火车完全进入隧道时,在隧道内的长度y不变;当火车出隧道时,长度y渐渐减小,最终隧道内的长度为0.依据以上x,y的变化状况,并结合函数图象可知选A.
6.【解析】选D.设一个三角形的边长为xcm,则另一个三角形的边长为(4-x)cm,由得0<x<4.
两三角形的面积和S=x2+(4-x)2=[(x-2)2+4]≥2(cm2).
当且仅当它们的边长均为2 cm时,取得最小值.
7.【解析】选B.设第一年的产量为A,则第三年的产量为A(1+x)2,由题意知:A(1+x)2=A(1+44%),即(1+x)2=1+44%>1+2x,∴x<22%.
8.【解析】选D.设2009年人口数为a,则2022年初人口数为a·1.012·0.992≈a·0.9998=a×(1-0.02%).
9.【解析】选C.由题图可得营运总利润y=-(x-6)2+11,则营运的年平均利润=-x-+12
=-(x+)+12≤12-2=2,
当且仅当x=,即x=5时取等号.
【方法技巧】解决实际问题的解题过程
(1)对实际问题进行抽象概括:争辩实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主、被动关系,并用x,y分别表示问题中的变量.
(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式.
(3)求解函数模型:依据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数学问,求得函数模型的解,并还原为实际问题的解.
10.【解析】选C.由题设知,f(5.5)=1.06×(0.5×[5.5]+1)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.
11.【解析】选C.设商品的原价为a元,则提价25%后的价格为a(1+25%)元.设降价x后恢复到原价.
则a(1+25%)(1-x)=a,
∴1-x=,∴x==20%.故选C.
12.【解析】由题意得8100×()3=2400(元).
答案:2400
13.【解析】每次洗去污垢的,就是存留了,故洗x次后,还有原来的()x,故有()x<1%,
∴5x>100,解得x的最小值为3.
答案:3
14.【解析】总利润L(Q)=K(Q)-10Q-2000
=40Q-Q2-10Q-2000=-(Q-300)2+2500.
故当Q=300时,总利润L(Q)的最大值为2500万元.
答案:2500
15.【解析】设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=a.
∴y=b·20%·x=a·20%·x,
即y=x(x∈N*).
答案:y=x(x∈N*)
16.【解析】(1)x=1时,g(1)=f(1)=66(万件),
当x≥2时,g(x)=f(x)-f(x-1)=x(x+1)(35-2x)-(x-1)x(37-2x)=-6x2+72x,
∴g(x)=-6(x2-12x)(x∈N*且x≤12).
由g(x)>192,即-6(x2-12x)>192,
化简得x2-12x+32<0,解得4<x<8,
又x∈N*,∴x=5,6,7.
答:第5,6,7月份的需求量超过192万件.
(2)保证每月都满足供应,则P≥g(x)对于x∈N*,x≤12恒成立,
∵g(x)=-6(x2-12x)=-6[(x-6)2-36]的最大值为216万件,∴P≥216.
答:每月至少应投放216万件.
【方法技巧】解答一个应用问题的三关
(1)事理关:通过阅读,知道讲的是什么,培育同学独立猎取学问的力气.
(2)文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要求同学有对数学学问的检索力气,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.构建了数学模型后,要正确解出数学问题的答案,需要扎实的基础学问和较强的数理力气.
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