天津市2022届高三上学期第四次月考-数学(理)-Word版含答案.docx

第四次月考数学理试题

一、选择题：
1.已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（ ）
A．－　 B. 　 C. 2　　 D. 1
2.若实数满足，则的最大值为（ ）
A、　　　　 B、　　　　　　　
C、1　　　　 D、2
3.阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则推断框内可填写（ ）
A．i<6 ？ B．i<8 ？
C．i<5 ？ D.i<7 ？
4.下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“”必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．，使函数是奇函数
D．设，是简洁命题，若是真命题，则也是真命题
5.三个实数成等差数列，首项是9，若将其次项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的全部取值中的最小值是（ ）
A. 1 B. 4 C. 36 D. 49
6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( D )

7.如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知，若关于x的方程没有实根，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．

二．填空题：
9.某校高中部有三个班级，其中高三有同学人，现接受分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一班级抽取了人，高二班级抽取了人，则高中部共有同学__3700__人.
10.的开放式中常数项为 14
11.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 138
12.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ．
13.如图，内接于圆，，直线切圆于点，交于点.若，则的长为 .
14.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为

已知函数
（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（2）求函数在区间上的值域

……4分

某学校高三(1)班同学进行新年联欢活动;预备了10张奖券,其中一等奖的奖券有2张,二等奖的奖券有3张,其余奖券均为3等奖.
(I)求从中任意抽取2张,均得到一等奖奖券的概率;
(II)从中任意抽取3张,至多有1张一等奖奖券的概率;
(Ⅲ)从中任意抽取3张,得到二等奖奖券数记为,求的数学期望.
【答案】

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用转化为二次函数求最值，求得相应值；（Ⅱ）先由点P在椭圆上建立实数与直线的斜率之间的关系，再由求得的范围，进而求得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）∵ ∴…………………………（1分）
则椭圆方程为即

由点P在椭圆上，得
化简得①………………………………………………（8分）
又由
即将，代入得

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.弦长公式.

如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

如图，建立空间直角坐标系，

由于,
所以，，， ，，．………5分
由于，， 分别为， ，的中点，

所以平面与平面所成锐二面角的大小为. …………9分

所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时.…………14分
已知数列的各项均为正值,对任意,
都成立.
1)求数列、的通项公式;
2)令,求数列的前项和;
3)当且时,证明对任意都有成立.
【答案】

【D】3．)设
-----(1)
当时,
当且仅当时等号成立.
∴上述(1)式中,全为正,

(法二)
=

已知函数
（I）若函数f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x＋b，求a，b的值；
（II）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（III）假如函数恰好有两个不同的极值点证明：
解：（I）∵，
∴ ．
于是由题知1-a=2，解得a=-1．
∴ ．
∴ ，
于是1=2×0+b，解得b=1．……………………………………………………4分
（II）由题意即恒成立，
∴ 恒成立．
设，则．
x
(-∞，0)
0
(0，+∞)

-
0
+
h(x)
减函数
微小值
增函数
∴ h (x)min=h(0)=1，
∴ a<1．…………………………………………………………………………9分
（III）由已知，
∴ ．
∵ x1，x2是函数g(x)的两个不同极值点（不妨设x1<x2），
∴ a>0（若a≤0时，，即g(x)是R上的增函数，与已知冲突），且，．
∴ ，．
两式相减得：，
于是要证明，即证明，
两边同除以，即证，即证(x1-x2)>，
即证(x1-x2)->0，
令x1-x2=t，t<0．
即证不等式当t<0时恒成立．
设，
∴

．
∵ 由(II)知，即，
∴ (t)<0，
∴ (t)在t<0时是减函数．
∴ (t)在t=0处取得微小值(0)=0．
∴ (t)>0，得证．
∴ ．……………………………………………………………14分