《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第一章-第1讲-集合的概念与运算.docx

2022高考导航学问点考纲下载集合1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算简洁不等式的解法1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义简洁的规律联结词、全称量词与存在量词1.了解规律联结词“或”、“且”、“非”的含义2理解全称量词与存在量词的含义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.第1讲集合的概念与运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系(1)集合关系图解关系韦恩(Venn)图表示符号表示子集AB真子集AB集合相等AB(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA做一做1已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AABBCBCDC DAD答案：B2(2022高考北京卷)已知集合Ax|x22x0，B0，1，2，则AB()A0 B0，1C0，2 D0，1，2答案：C3(2022高考浙江卷)设全集UxN|x2，集合AxN|x25，则UA()A B2C5 D2，5解析：选B.由于AxN|x或x，所以UAxN|2x，故UA21辨明五个易误点(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件(2)要留意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系(3)易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身(4)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心(5)在解决含参数的集合问题时，要留意检验集合中元素的互异性，否则很可能会由于不满足“互异性”而导致解题错误2巧用两种数学思想(1)数形结合思想数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题(2)转化与化归思想在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在确定的联系，在确定的状况下可以相互转化，如ABABAABBUAUBA(UB)，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程做一做4由a2，2a，4组成一个三元素集合A，则实数a的值可以是()A1 B2C6 D2答案：C5已知集合A1，0，4，集合Bx|x22x30，xN，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是_解析：Bx|x22x30，xNx|1x3，xN0，1，2，3而图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，故该集合为1，4答案：1，4,同学用书P2P3)_集合的基本概念_(1)(2021高考山东卷)已知集合A0，1，2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1B3C5 D9(2)已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，则(mn)2 015_解析(1)当x0，y0时，xy0；当x0，y1时，xy1；当x0，y2时，xy2；当x1，y0时，xy1；当x1，y1时，xy0；当x1，y2时，xy1；当x2，y0时，xy2；当x2，y1时，xy1；当x2，y2时，xy0.依据集合中元素的互异性知，B中元素有0，1，2，1，2，共5个(2)由MN知，或，或，故(mn)2 0151或0.答案(1)C(2)1或0若将本例(1)中的集合B更换为B(x，y)|xA，yA，xyA，则集合B中有_个元素解析：当x0时，y0；当x1时，y0或y1；当x2时，y0，1，2.故集合B(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，即集合B中有6个元素答案：6规律方法解决集合的概念问题应关注两点1争辩集合问题，确定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要留意检验集合的元素是否满足互异性2对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种状况列出方程(组)进行求解，要留意检验是否满足互异性1.已知集合M1，m2，m24，且5M，则m的值为()A1或1 B1或3C1或3 D1，1或3解析：选B.51，m2，m24，m25或m245，即m3或m1.当m3时，M1，5，13；当m1时，M1，3，5；当m1时，M1，1，5不满足互异性m的值为3或1._集合间的基本关系_(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2C3 D4(2)已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是()A(0，1 B1，)C(0，1) D(1，)解析(1)由x23x20，得x1或x2，A1，2由题意知B1，2，3，4，满足条件的C可为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4(2)法一：由于Ax|ylg(xx2)x|xx20(0，1)，Bx|x2cx0(0，c)由于AB，画出数轴，如图所示，得c1，即实数c的取值范围是1，)法二：由于Ax|ylg(xx2)x|xx20(0，1)，取c1，则B(0，1)，所以AB成立，故可排解C，D；取c2，则B(0，2)，所以AB成立，故可排解A.答案(1)D(2)B规律方法(1)推断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中查找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中查找关系(2)子集与真子集的区分与联系：集合A的真子集确定是其子集，而集合A的子集不愿定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n1.留意题目中若有条件BA，则应分B和B两种状况进行争辩2.(1)(2021高考福建卷)已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)已知集合Ax|2x7，Bx|a1x2a1，若BA，则实数a的取值范围是_解析：(1)A1，a，B1，2，3，AB，aB且a1，a2或3，“a3”是“AB”的充分而不必要条件(2)当B时，有a12a1，则a2.当B时，若BA，如图则，解得2a4.综上，a的取值范围为a4.答案：(1)A(2)(，4_集合的基本运算(高频考点)_集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式毁灭试题难度不大，多为低档题高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求集合；(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)(1)已知全集UR，集合Ax|lg x0，Bx|2x，则AB()A B(0，C，1 D(，1(2)(2022高考重庆卷)设全集UnN|1n10，A1，2，3，5，8，B1，3，5，7，9，则(UA)B_(3)已知集合A，B均为全集U1，2，3，4的子集，且U(AB)4，B1，2，则A(UB)_(4)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_解析(1)由题意知，A(0，1，B(，AB(，1故选D.(2)U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(UA)B7，9(3)U1，2，3，4，U(AB)4，AB1，2，3又B1，2，3A1，2，3又UB3，4，A(UB)3(4)AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，由Bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.答案(1)D(2)7，9(3)3(4)11规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需留意端点值的取舍(2)在解决有关AB时，往往忽视空集的状况，确定先考虑是否成立，以防漏解另外要留意分类争辩和数形结合思想的应用3.(1)已知集合Ax|y，Bx|2x4，则(RA)B等于()Ax|1x2 Bx|1x0Cx|x1 Dx|2x0(2)(2021河北唐山模拟)集合M2，log3a，Na，b，若MN1，则MN()A0，1，2 B0，1，3C0，2，3 D1，2，3(3)(2021新乡市一中月考)设集合Ax|xa|1，xR，Bx|1x5，xR，若AB，则实数a的取值范围是()Aa|0a6 Ba|a2或a4Ca|a0或a6 Da|2a4解析：(1)选B.由于Ax|yx|x0，所以RAx|x0又Bx|2x4x|1x2，所以(RA)Bx|1x0(2)选D.由于MN1，所以log3a1，即a3，所以b1，即M2，1，N3，1，所以MN1，2，3，故选D.(3)选C.|xa|11xa1a1xa1，又Bx|1x0，则A#B为()Ax|0x2Bx|12(2)假如集合A满足若xA，则xA，那么就称集合A为“对称集合”已知集合A2x，0，x2x，且A是对称集合，集合B是自然数集，则AB_解析(1)由于Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|12，故选D.(2)由题意可知2xx2x，x0或x3.而当x0时不符合元素的互异性，所以舍去当x3时，A6，0，6，所以AB0，6答案(1)D(2)0，6名师点评解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在(2)用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要擅长从试题中发觉可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质1.(2021安徽安庆一中、安师大附中联考)设集合SA0，A1，A2，在S上定义运算：AiAjAk，其中k为ij被3除的余数，i，j1，2，3，则使关系式(AiAj)AiA0成立的有序数对(i，j)总共有()A1对B2对C3对 D4对解析：选C.i1时，j1符合要求；i2时，j2符合要求；i3时，j3符合要求，所以使关系式(AiAj)AiA0成立的有序数对(i，j)有(1，1)，(2，2)，(3，3)，共3对2(2021广东揭阳模拟)对于集合M，定义函数fM(x)对于两个集合A，B，定义集合ABx|fA(x)fB(x)1已知A2，4，6，8，10，B1，2，4，8，12，则用列举法写出集合AB的结果为_解析：要使fA(x)fB(x)1，必有xx|xA且xBx|xB且xA1，6，10，12，所以AB1，6，10，12答案：1，6，10，121(2021河南省洛阳市统一考试)已知集合A1，2，4，则集合B(x，y)|xA，yA中元素的个数为()A3B6C8 D9解析：选D.集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个2已知集合Ax|y，xR，Bx|xm2，mA，则()AAB BBACAB DBA解析：选B.由题意知Ax|y，xR，Ax|1x1，Bx|xm2，mAx|0x1，BA，故选B.3(2022高考江西卷)设全集为R，集合Ax|x290，Bx|1x5，则A(RB)()A(3，0) B(3，1)C(3，1 D(3，3)解析：选C.由题意知，Ax|x290x|3x3，Bx|1x5，RBx|x1或x5A(RB)x|3x3x|x1或x5x|3x14(2021福建南安一中期末)全集UR，Ax|x22x0，By|ycos x，xR，则图中阴影部分表示的集合为() Ax|x2 Bx|1x2Cx|x1 Dx|0x1解析：选D.阴影部分表示的集合是AB.依题意知，Ax|0x2，By|1y1，ABx|0x1，故选D.5(2021山东临沂期中)已知全集UR，集合Ax|x23x20，Bx|xa0，若UBA，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，2C1，) D2，)解析：选D.x23x20，x2或x2或xaUBA，借助数轴可知a2，故选D.6已知集合Ax|x22xa0，且1A，则实数a的取值范围是_解析：1x|x22xa0，1x|x22xa0，即12a0，a1.答案：(，17(2021江西八校联考)已知R是实数集，集合Mx|1，Ny|yt2，t3，则NRM_解析：解不等式1，得x3，所以RM0，3令x，x0，则tx23，所以yx22x32，即N2，)所以NRM2，3答案：2，38已知全集U2，1，0，1，2，集合A，则UA_解析：由于A，当n0时，x2；n1时不合题意；n2时，x2；n3时，x1；n4时，xZ；n1时，x1；n2时，xZ.故A2，2，1，1，又U2，1，0，1，2，所以UA0答案：09已知集合A4，2a1，a2，Ba5，1a，9，分别求适合下列条件的a的值(1)9(AB)；(2)9AB.解：(1)9(AB)，2a19或a29，a5或a3或a3.当a5时，A4，9，25，B0，4，9；当a3时，a51a2，不满足集合元素的互异性；当a3时，A4，7，9，B8，4，9，所以a5或a3.(2)由(1)可知，当a5时，AB4，9，不合题意，当a3时，AB9所以a3.10(2021河北衡水模拟)设全集IR，已知集合Mx|(x3)20，Nx|x2x60(1)求(IM)N；(2)记集合A(IM)N，已知集合Bx|a1x5a，aR，若ABA，求实数a的取值范围解：(1)Mx|(x3)203，Nx|x2x603，2，IMx|xR且x3，(IM)N2(2)A(IM)N2，ABA，BA，B或B2，当B时，a15a，得a3；当B2时，解得a3，综上所述，所求a的取值范围为a|a31(2021河南郑州模拟)已知集合A(x，y)|xy10，x，yR，B(x，y)|x2y21，x，yR，则集合AB的元素个数是()A0 B1C2 D3解析：选C.法一：(解方程组)集合AB的元素个数即为方程组解的个数，解方程组得或有两组解，故选C.法二：(数形结合)在同一坐标系下画出直线xy10和圆x2y21的图象，如图，直线与圆有两个交点即AB的元素个数是2，故选C.2已知数集Aa1，a2，an(1a1a2an，n2)具有性质P：对任意的i，j(1ijn)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则()A1，3，4为“权集”B1，2，3，6为“权集”C“权集”中可以有元素0D“权集”中确定有元素1解析：选B.由于34与均不属于数集1，3，4，故A不正确；由于12，13，16，23，都属于数集1，2，3，6，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不愿定有1，C，D错误，故选B.3已知集合Ax|x22x80，Bx|x2(2m3)xm(m3)0，mR，若AB2，4，则实数m_解析：由题知A2，4，Bm3，m，由于AB2，4，故，则m5.答案：54某校田径队共30人，主要专练100 m，200 m与400 m其中练100 m的有12人，练200 m的有15人，只练400 m的有8人则参与100 m的专练人数为_解析：用Venn图表示A代表练100 m的人员集合，B代表练200 m的人员集合，C代表练400 m的人员集合，U代表田径队共30人的集合，设既练100 m又练200 m的人数为x，则专练100 m的人数为12x.12x15830，解得x5.所以专练100 m的人数为1257.答案：75(2021福建三明模拟)已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m(1)当m1时，求AB；(2)若AB，求实数m的取值范围；(3)若AB，求实数m的取值范围解：(1)当m1时，Bx|2x2，则ABx|2x3(2)由AB知得m2，即实数m的取值范围为(，2(3)由AB，得若2m1m，即m时，B，符合题意；若2m1m，即m时，需或得0m或，即0m.综上知m0即实数m的取值范围为0，)6(选做题)(2021浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M是“垂直对点集”推断下列四个集合是否为“垂直对点集”M；M(x，y)|ysin x1；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2解：依题意， 要使得x1x2y1y20成立，只需过原点任作始终线l1与该函数的图象相交，再过原点作与l1垂直的直线l2也与该函数的图象相交即可对于，取l1：yx，则l2：yx与函数y图象没有交点，中M不是“垂直对点集”；中取l1：y0，则l2：x0与函数ylog2x图象没有交点，中M不是“垂直对点集”；如图所示，作出中两个函数的图象知：过原点任作始终线l1与该函数的图象相交，再过原点作与l1垂直的直线l2也与该函数的图象相交故中的集合M是“垂直对点集”