华工-2007线性代数试题及解答复习过程.doc

华工2006-2007线性代数试题及解答

精品文档
《 2006线性代数 》试卷A
一、 填空题（每小题4分，共20分）。
0． 已知正交矩阵P使得，则
1． 设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=
2． 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n
3．
4． 若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=-8
5． ，则的全部根为：1、2、-3
二、 选择题（每小题4分，共20分）
1． 行列式的值为（ c ）。 D
A， 1， B，-1
C， D，
2． 对矩阵施行一次行变换相当于（ A ）。
A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵
3． 若A为m×n 矩阵，，。则（ C ）。 D
A， 是维向量空间， B， 是维向量空间
C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间
4． 若n阶方阵A满足， =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。D
A， ， B，
C， ， D，
5． 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。
A，矩阵AT为正交矩阵， B，矩阵为正交矩阵
C，矩阵A的行列式是1， D，矩阵A的特征根是1

三、 解下列各题（每小题6分，共30分）
1．若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 求det ()
2．计算行列式。 (a+3)(a-1)^3
3．设，求矩阵B。
4、求向量组的一个最大无关组。
5、 求向量=（1，2，1）在基下的坐标。
四、（12分）求方程组
的通解（用基础解系与特解表示）。
六、证明题（6分）
设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证线性无关。
《2006年线性代数A》参考答案
一 填空题
(1) 2
0
-22006

(2) λ12···λn2
(3) r(A)=r(A,B)< n
(4) t=-8
(5) 1,2,-3
二 选择题
(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D
三 解答题
(1) A·A* =|A|·E, |A|·|A*|=|A3|
|A*|=|A|2=|A·A’|=|A·A-1|=1
(2)
(3)由AB=A-B，有，

（4）
而

故{，，}为一个极大无关组
（5）
6、 求向量=（1，2，1）在基下的坐标。
令ω=（1，2，1）=xα+yβ+zγ，
则有：
解得：
ω的坐标为
四
解：
原方程组同解下面的方程组：

即：

令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
。

当时，由，求得基础解系：
六，证明
证：设，
则，
于是：,
即：
但，故 =0。
从而 =0。
但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：
线形无关。
设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证线性无关。
《 2006线性代数 》试卷B
一、 填空题（每小题4分，共20分）。
1． 已知正交矩阵P使得，则
2．设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=
3．设A是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：
4． 若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩不为3，则t=
5．，则的全部根为：
二、选择题（每小题4分，共20分）
1．n阶行列式的值为（ ）。
B， ， B，
C， D，
2．对矩阵施行一次列变换相当于（ ）。
B， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵
3．若A为m×n 矩阵，，。则（ ）。
A， 是维向量空间， B， 是维向量空间
C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间
4．若n阶方阵A满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ）。
A， ， B，
C， ， D，
5．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A，矩阵-AT为正交矩阵， B，矩阵-为正交矩阵
C，矩阵A的行列式是实数， D，矩阵A的特征根是实数

三、解下列各题（每小题6分，共30分）
1．若A为3阶正交矩阵， 求det (E-)
2．计算行列式。
3．设，求矩阵A-B。
4、求向量组的的秩。
向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。
四、（12分）求方程组
的通解（用基础解系与特解表示）。
六、证明题（6分）
设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。
证：设，
则，
于是：,
即：
但，故 =0。
从而 =0。
但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：
线形无关。
《2006年线性代数B》参考答案
二 填空题
（1） 2
-2
-5*22005

(0) λ1···λn
(1) m=r(A)=r(A,B)< n
(2) t=-8
(3) 1,2,-3
二 选择题
(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D
三 解答题
(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以
det (E-)= det （E-A）· det （E+A） =0
（2）

(3)由AB=A-B，有，

（4）
而

故秩为3。
（5）
令ω=α+2β+γ=x（α+β）+y（β+γ）+z（γ+α），
则有：
解得：
所求的ω的坐标为
四
解：
原方程组同解下面的方程组：

即：
令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
。

六，证明
证：设，
则，
于是：,
即：
但，故 =0。
从而 =0。
但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：
线形无关。

《 2007线性代数 》试卷
一、 填空题（共20分）

（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：rank(A)<rank(A,B)
（2） 已知可逆矩阵P使得，则
（3） 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=
（4） 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=-1
（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =

二、 选择题（共20分）

(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A
（1） 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对 D
A， 乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵
6． 若A为m×n 矩阵，，。则（ C ）。 D
A， 是维向量空间， B， 是维向量空间
C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间

（2） 若A为m×n 矩阵， 是 维 非零列向量，。集合则B D
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立D C
A， ， B，
C， ， D，

（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 -为正交矩阵
C，矩阵为正交矩阵， D，矩阵 -为正交矩阵
（5）4n阶行列式的值为：A
A，1， B，-1
C， n D，-n
三、 解下列各题（共30分）
1．求向量，在基下的坐标。
2．设，求矩阵-A
3．计算行列式
4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。
（4分
5. 设 计算det A

四、 证明题（10分）
设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。
六、（8分） 取何值时，方程组
有无数多个解？并求通解
七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。
《2007年线性代数A》参考答案

一 填空题 每个四分
(4) rankA<rank(A|B) 或者 rankA rank(A|B)
(5)
(6) t=
(7)
(8) 0
二 选择题
(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A
三 解答题
1．求向量，在基下的坐标。
(1) 设向量在基下的坐标为，则

（4分）
（6分）
2．设，求矩阵-A
(2)
（2分）
3．计算行列式
(3)
（4）
（4分）
（5）

六，证明

七

《 2007线性代数 》试卷
一、 填空题（共20分）

（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：
（2） 已知可逆矩阵P使得，则
（3） 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩r不为3，则r=
（4） 若A为2n+1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=
（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =
二、 选择题（共20分）
(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B
（1） 将矩阵的第i列乘c相当于对A：
A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵

（2） 若A为m×n 矩阵，。集合则 B C
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对
（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立 C D
A， ， B，
C， ， D， 都不对
（4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：A
A，矩阵为初等矩阵， B，矩阵 -为初等矩阵
C，矩阵为初等矩阵， D，矩阵 -为初等矩阵
（5）4n+2阶行列式的值为：
A，1， B，-1
C， n D，-n
三、 解下列各题（共30分）
1．求向量，在基下的坐标。
2．设，求矩阵-A
3．计算行列式
4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。
5. 设 计算det A
四、 证明题（10分）
设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。
六、（8分） 取何值时，方程组无解？

七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。
《2007年线性代数B》参考答案

三 填空题 每个四分
（1） rankA=rank(A|B)=n
（2）
（3）r=2
（4） 1
（5）0
二 选择题
(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B
三 解答题
(1) 设向量在基下的坐标为，则

（4分）
（6分）
(2)
（2分）

（6分）
(3)
（6分）
（4）
（4分）
（6分）
（5）
（6分）
四 证明：

六，证明

七

《 2007线性代数-1 》试卷
一、 填空题（共20分）
1．设行列式，则方程的所有解是：
2．已知矩阵，则矩阵 分别等于：
3．设是n阶对称方阵的个特征值，是对应的特征向量，若，则向量的夹角是：
4．若方程组有解，则的值等于：
6． 若矩阵是n阶实矩阵，且，这里为零矩阵，则矩阵的所有特征值为：
二、选择题（共20分）
7． 若矩阵和都是n阶正定矩阵，若n是任意自然数，则
A，， B，
C，， D，不能确定
8． 设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B为 矩阵，现有四个命题
（1）若AX=0的解均是BX=0的解，则
（2）若，则AX=0的解均是BX=0的解
（3）若AX=0与BX=0同解，则
（4）若，则AX=0与BX=0同解
以上命题中正确的是
A， （1）（2）， B， （1）（3）
C， （2）（4）， D， （3）（4）
9． 若A，B是任意n阶方阵，则以下等式中一定成立的是：
A， B，
C，， D，
10． 若n阶方阵，满足，则有
A，， B，
C，， D，
11． 若A是n阶方阵，则A是n阶正交方阵的充分必要条件不是
C， A的列向量构成 的单位正交基 B，
C， A的行向量构成 的单位正交基 D，
三、解下列各题（共30分）
1．求向量，在基下的坐标。
2．设A是三阶方阵且，求的值
3．计算行列式
4. 设向量组。
求向量组的一个最大无关组。
5. 设，计算
四、 证明题（8分）
设向量线性无关，求证：向量线性无关。
六、（8分）求方程组的一个基础解系

七、（6分）设矩阵，是正定矩阵，证明分块矩阵也是正定矩阵。
湖南商学院2006年度（线性代数）期末考试试卷

一、填空题（每小题2分，共20分）
1.如果行列式，则 。
2.设，则 。
3.设= 。
4.设齐次线性方程组的基础解系含有2个解向量，则 。
5.A、B均为5阶矩阵，，则 。
6.设,设，则 。
7.设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，若是矩阵的一个特征值，则的一个特征值可表示为 。
8.若为正定二次型，则的范围是 。
9.设向量，则与的夹角 。
10. 若3阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）
1.若齐次线性方程组有非零解,则（ ）
.1或2 . －1或－2 .1或－2 .－1或2.
2.已知4阶矩阵的第三列的元素依次为，它们的余子式的值分别为，则（ ）
.5 .-5 .-3 .3
3.设A、B均为n阶矩阵，满足，则必有（ ）
. .
.或 .或
4. 设是非齐次线性方程组的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ）
A． B． C． D．
三、计算题 (每题9分，共63分)
1.计算阶行列式
2. 设均为3阶矩阵，且满足，若矩阵，求矩阵。
3.已知向量组和；已知可以由线性表示, 且与具有相同的秩,求a ,b的值。
4. 已知向量组
（1）求向量组的秩以及它的一个极大线性无关组；
（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
5. 已知线性方程组
（1）a为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.
6. 设矩阵，矩阵由关系式确定，试求
四、证明题（7分）
已知3阶矩阵，且矩阵的列向量都是下列齐次线性方程组的解
，（1）求的值；（2）证明：。
参考答案与评分标准
一. 填空题
1．-16； 2. 0；3.； 4. 1； 5.-4； 6. ； 7.；8.； 9. ； 10. 24。
二. 单项选择： 1. C； 2. A ；3. D； 4. B； 5. C.
三.计算题：
1. 4分
9分
2.
3分
因为显然可逆 6分
则 9分

3. 3分
即，且 5分
那么，则 6分
，即 9分
4. 4分
5分
其极大线性无关组可以取为 7分
且：， 9分
5.
当时，线性方程组有解 4分
即，特解为， 6分
其导出组的一般解为，基础解系为 8分
原线性方程组的通解为为任意常数） 9分
6. 由，得 2分
4分
7分
9分
7.
= 2分
= 4分
令 6分
即作线性变换 8分
可将二次型化成标准形 9分
四.证明题：
因为，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式
，所以 3分
（2），，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故，因而。 7分

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)
1． A是n阶方阵，，则有。 （ ）
2． A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）
3．如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。 ( )
4．若均为阶方阵，则当时，一定不相似。 ( )
5．n维向量组线性相关，则也线性相关。 （ ）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（      ）不是初等矩阵。
（A） (B) (C) (D)
2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
3．设A为n阶方阵，且。则（　　　）
(A) (B) (C) (D)
4．设为矩阵，则有（ ）。
（A）若，则有无穷多解；
（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；
（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；
（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。
5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）
（A）A与B相似 （B），但|A-B|=0
（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
1． 。
2．为3阶矩阵，且满足3,则=______， 。
3．向量组，，，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。
4． 已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，，，则方程组的通解为 。
5．设，且秩(A)=2，则a=　　　 　　　　。
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB，且，求矩阵B。
2.设，而，求。
3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。
2．设为矩阵，且的秩为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。

线性代数试题解答
一、
1．（F）（）
2．（T）
3．（F）。如反例：，。
4．（T）（相似矩阵行列式值相同）
5．（F）
二、
1．选B。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与，，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。
3．选C 。由，
)。
4．选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。
5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。
三、1． （按第一列展开）
2． ；（=）
3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。 。因为，。
4． 。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5．（
四、
1．解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。
=

。故 。
解法二：。
，因此。
2．解：，，
。
3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。
当时，该方程组的增广矩阵

于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，
当时增广矩阵，，此时方程组无解。
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵
，
因此得到其特征值为，。
再求特征值的特征向量。
解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量，。
解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。
再将，正交化为，。
最后将，，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。
5． 解：（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。
（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。
（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。
五、1．为对称矩阵。
证明：
===，
所以为对称矩阵。
2．为正定矩阵。
证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。
成都理工大学2006—2007学年
第一学期《线性代数》考试试卷（A）
一.填空题（每空3分，共30分）
1. 已知A* =，则A = 。
2. A、B、C是同阶矩阵，A可逆，若AB = AC，则B = 。
3. 若A= E，则A = 。
4. 设 = 1， = 32，则A为 阶矩阵。
5. 行列式D = 中，元素6的代数余子式为 。
6. A、B、C是同阶方阵，且≠0，BA=C，则B= 。
7. 逆序数τ（23541）= 。
8. n + 2个n维向量的相关无关性为 （填“相关”“无关”或“不确定”）。
9. 向量组的 所含向量的个数称为向量组的秩。
10. 若n阶实矩阵A满足 ，则称A为正交矩阵。
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
11. A、B是同阶方阵，下面结论中（ ）是正确的。
(A) 若AB = 0且≠0，则A = 0； (B) 若AB = 0且B≠0，则A = 0；
(C) 若AB = 0且B≠0，则A≠0； (D)若A≠0，则A是可逆矩阵。
12. n阶行列式的值为零的充要条件是（ ）
(A)某一行元素全为零； (B)某两行元素相等；
(C) D的秩＜n； (D)两行对应元素成比例.
13. 若A是( )，则A不一定是方阵。
(A)对称矩阵； (B)方程组的系数矩阵；
(C)可逆矩阵； (D)上（下）三角形矩阵。
14. 两个非零向量α、β线性相关的充分必要条件是（ ）
(A)α、β的对应分量成比例； (B)α=β；
(C)α、β中有一个是零向量； (D) 0α+0β=0不成立.
15. 齐次线性方程组AX=0有非零解是它的基础解系存在的（ ）。
(A)充要条件； (B)必要条件； (C)充分条件； (D)无关条件.

三.解答下列各题：（21分）
16. 计算D =
17. 证明若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A也对称。
18. 设α=(1，2，3，4)，α=(1，3，5，7)，α=(2，6，10，11)，
α=(3，7，11，15)。回答下列问题：
(1) 求r(α,α,α,α)；
(2) 求此向量组的一个极大线性无关组。
四、（5分）
19. 设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求的值
五、（10分）
20.已知A=，（1）求A；（2）若AX =，求X。
六.（9分）
21. 用基础解系求下列方程组的全部解.

成都理工大学2006—2007学年第一学期
《线性代数》考试试卷（A）参考答案及评分标准
一. 填空题（每空3分，共30分）
1. 2. C 3. A 4. 5 5. 6 6.
7. 5 8. 线性相关 9.极大线性无关组 10.
二.单项选择题15分 11——15依次为： A C B A A
三. （16—18各7分，共21分）
16. （7分）
17. 证明：若且存在，（2分） 则 （5分）
18. 解： （4分）
(1) r(α,α,α,α) = 3 （1分）
(2)可选α,α,α为此向量组的一个极大线性无关组。 （2分）
（方法对变换有误给4分）
四、（5分）
19. 设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求的值
解：A的特征值为1，2，3，则， （2分）
（3分）
五、20.（10分）
（4分）
故 （1分）
若AX =，则X = （2分）
= （3分）
六.（9分）
21. 解：

方程组化为 ，有特解 （5分）
对应齐次方程组为，有基础解系， （3分）
方程组的全部解为 （1分）
成都理工大学2008级《线性代数》考题（2010年1月用）
(附答案)
一、 填空题（每空3分，共15分）
1. 设矩阵,且,则 20
2. 为3阶方阵，且，则
3. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是
4. 设A为n阶方阵，为A的n个列向量，若方程组只有零解，则向量组()的秩为 n
二、选择题（每题3分，共15分）
5. 设线性方程组，则下列结论正确的是（A）
(A)当取任意实数时，方程组均有解 (B)当a＝0时，方程组无解
(C) 当b＝0时，方程组无解 (D)当c＝0时，方程组无解
6. A.B同为n阶方阵，则（C）成立
(A) (B)
(C) (D)
7. 设，,,
则（C）成立
(A) (B) (C) (D)
8. ,均为n阶可逆方阵，则的伴随矩阵（D）
(A) (B) (C) (D)
9. 设A为矩阵，＜，那么A的n个列向量中（B）
（A）任意r个列向量线性无关
(B) 必有某r个列向量线性无关
(C) 任意r个列向量均构成极大线性无关组
(D) 任意1个列向量均可由其余n－1个列向量线性表示
三、计算题（每题7分，共21分）
10. 设。求
11. 计算行列式 ()
12. 已知矩阵与相似，求a和b的值
()
四、计算题（每题7分，共14分）
13. 设方阵的逆矩阵的特征向量为，求k的值
(或)
14. 设,,,（1）问为何值时，线性无关（2）当线性无关时，将表示成它们的线性组合
()
五、证明题（每题7分，共14分）
15. 设3阶方阵，的每一列都是方程组的解
（1）求的值（2）证明： ( 略 )
16. 已知为n维线性无关向量，设
，证明：向量线性无关
六、 解答题（10分）
18．方程组，满足什么条件时，方程组
（1） 有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解
( (1)且;(2);(3),解略)

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1. 若，则__________。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。
3．已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。
4．矩阵的行向量组线性 。
5．阶方阵满足，则 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）
1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）
3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ ）
4. ，则。（ ）
5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设为阶矩阵，且，则（ ）。
① ② ③ ④ 4
2. 维向量组 （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ ）。
① 中任意两个向量都线性无关
② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意个维向量线性相关
② 任意个维向量线性无关
③ 任意个 维向量线性相关
④ 任意个 维向量线性无关
4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
① 若，均可逆，则可逆 ② 若，均可逆，则 可逆
③ 若可逆，则 可逆 ④ 若可逆，则 ，均可逆
5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
1. 计算行列式。
2. 设，且 求。
3. 设 且矩阵满足关系式 求。
4. 问取何值时，下列向量组线性相关？。
5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。
① 当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为
6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
7. 设，求的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)
若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。
一、填空题
1. 5 2. 3. 4. 相关
5.
二、判断正误
1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×
三、单项选择题
1. ③ 2. ③ 3. ③ 4. ② 5. ①
四、计算题
1.

2.
，

3.

4.
当或时，向量组线性相关。

5.
① 当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为
6.

则 ，其中构成极大无关组，

7.

特征值，对于λ1＝1，，特征向量为
五、证明题

∴， ∵
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