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小学奥数全部知识点+练习题

精品文档
一、计算~(一)分数裂项-知识点：
1、裂差公式：

2、裂和公式：
二、 例题：
例1：

例2：

例3：

例4：

例5：

例6：

例7：

例:8：“！”表示一种运算符号，它的含义是2！=2×1；
3！=3×2×1；，计算

例9：

练习：
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、 比较分数大小：
(1) 分数中，哪一个最大？

(2) 从小到大排列下列分数，排在第三个的是哪一个？
；

(3)若A=，比较A与B的大小。

(4)比较

一、计算~(二)常用计算公式知识点：
1、等差数列：
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+（项数+1）×公差
求和=（首项+末项）×项数÷2
当等差数列为奇数项时，可以用中间项定理：
和=中间项×末项
（1）
（2）
2、平方和公式：

3、立方和公式：

4、平方公式
（1）平方差公式
（2）完全平方和（差）公式

二、 习题：
1、

2、 1234567×1234567-1234566×1234568=

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

一、计算~(三)小数和分数的互化
1、纯循环化成分数：循环节有几位小数，则分母有几个9，分子就是循环节。
2、混循环小数化分数：分母9的个数=循环节小数位数，分母0的个数=非循环节小数位数，分子=分数部分-非循环部分小数。
3、神秘组织：142857是分母是7的分数的循环节数字，分子是1的，第一位是最小的，按此规律排列。

例1：0.01&＋0.12&＋0.23&＋0.34&＋0.78&＋0.89&

例2：

例3：将循环小数 0.0& 27& 与 0.1& 79672& 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一
位小数是多少？

例4：冬冬将乘以一个数a时，看丢了一个循环点，使得乘积比结果减少了 ，正确结果应该是多少？

一、计算~(四)进制问题
1、常见进制：二进制、十进制、十二进制、十六进制、二十四进制、六十进 制.
2、二进制：只使用数字0、1，在计数与计算时必须是“满二进一”，例如，(9)10＝(1001)2
3. 十进制转n进制： 短除、取余、倒写. 例如：
(1234)10 = (1200201)3
4. n进制转十进制：写指、相乘、求和。例如:
(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=(11)10
5.关于进位制
⑴ 本质：n进制就是逢n进一；
⑵n进制下的数字最大为(n-1),超过9用大写字母代替。
例1：⑴将(2009)10写成二进制数
⑵把十进制数 2008转化为十六进制数；

例2：把下列各数转化成十进制数：
⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16.

例3：① (101) 2 ´(1011)2 - (11011)2 = ( ）2
② (11000111）2 - (10101）2 ¸ (11）2 = ( ）2
③ (3021)4 + (605)7 = ( )10
④ (63121)8 - (1247)8 - (16034 )8 - (26531)8 - (1744 )8 = )8
( )8

例4：用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade) , (adc) , (aab)是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5 所表示的整数写成十进制的表示是多少？

二、计数原理~(一)容斥原理：
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
1、(两张饼)原理一： 大饼=A+B-AB
2、(三张饼)原理二： 大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
口诀 ：奇层加，偶层减。
3、 原则：①消重；②不消不重；
4、 考点：①直接考公式；
②直接考图形；
③锅内饼外=全部-大饼上的数量；
④三叶草=AB+AC+BC-ABC
5、 解题方法：①文氏图法；
②方程法；
③反推法；
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习1：网校老师共 50 人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练 的有 30 人，参加乒乓球训练的有 35 人，请问：两个项目都参加的有多少人？

练习2：网校老师 60 人组织春游。报名去香山的有 37 人，报名去鸟巢的有 42 人，两个地点都没有报名的有 8 人，那么只报名其中一个地点的有多少人？

例2：在网校 50名老师中，喜欢看电影的有 15 人，不喜欢唱歌的有 25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有 5人。那么只喜欢唱歌的有多少人？

练习1：学校组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比 赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时 参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人， 同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4 人，问参加 体育比赛的共有多少人？

练习2：五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加 语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组 也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数？

例3：网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既 参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而 三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？（锅内饼外）

练习1：在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？

二、 计数原理~(二)加乘原理：
1、加法原理：
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。每一种方法都能够直接达成目标。
2、 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
3、 区分两原理：要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。
例1：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？

例2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的 奇数有多少个？

例3：一个七位数，其数码只能为1或3，且无两个3是邻的。问这样的七位 数共有多少个？

例4：在1～10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？

三、 加乘原理——标数法、递推法
①标数法与递推法都是加法原理
②按最后一步进行分类，做加法
③标数时要注意限制条件
④分平面问题要确定交点个数

例1：如图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有多少条？

例2：在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向右，或沿对角 线的方向向右上走任意多步，但不能不走。那么走到右上角一共有多少种方法？

例3：一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最 多可以迈3级台阶，从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种 不同的走法？

例4：一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最多把平面分成几部分？

二、计数原理~(三)概率
1、随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现，但是具有规律性的事件。
2、概率：随机事件可能发生的可能性的度量，一般用P来表示，特例：必然事件：P=1；不可能事件：P=0；
3、独立事件：事件1是否发生对事件2发生的概率无影响；
4、互斥事件：不可能同时发生的两件事件；
5、对立事件：两个互斥事件必有一个发生；
6、概率的计算： n表示试验中发生所有情况的总数，m表示事件A发生的次数。
7、概率具有可乘性。计算概率的基础：计数、枚举、加乘原理、排列组合。
例1：一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色，每种花色各拿出2 张，现在从这8张牌中任意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同 的概率是多少？

例2：编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两 个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是多少？

例3：A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外 表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先 后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，这六人被抽中的概率分别为多少？

例4：一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是多少？

二、计数原理~(四)排列组合
1、 排列：从n个不同元素中选出m个，按照一定的顺序排列，记为：Anm=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)
可以理解为从n开始乘，一共乘m个。
特殊要求，优先满足：
（1） 捆绑法：必须在一起；
（2） 优先满足法：特殊位置或特殊元素；
（3） 插空法：不能相邻，必须隔开；先排没有要求的，再在空里插必须要分开的元素。
（4） 排除法：正难则反；
2、 组合：从n个不同元素中选出m个，不需要按顺序排列，
记为：Cnm=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)/n!
可以写成：Cnm=Anm/Amm；
重要性质：Cnm=Cnm-n； Cnn=1；
方法：（1）排除法：有至少、至多等情况下用；
（2）隔板法：相同物品放在不同位置或不同的人，要求至少一个，可以用隔板法。
例1：计算
= = =

=

= = = =

= =

例2：6 个人走进有 10 辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车只能坐一个人， 那么共有多少种不同的坐法？

例3：书架上有 3 本不同的故事书，2 本不同的作文选和 1 本漫画书，全部竖起来 排成一排。
⑴如果同类的书可以分开，一共有多种排法？
⑵如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？

例4：一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？
⑴把 7 盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位。
⑵串起其中 4 盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位。

例5：八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？⑴八个人站成一排；
⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头；
⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头；
⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。

例6：大海老师把 10 张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳，并且决定给佳佳 8 张， 给阳阳 2 张。一共有多少种不同的分法？

例7：一个小组共 10 名学生，其中 5 女生，5 男生。现从中选出 3 名代表， 其中至少有一名女生的选法？

例8：一个电视台播放一部 12 集的电视剧，要分 5 天播完，每天至少播一集，有多少种不同的方法？

三、数论
(一)奇偶性
奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=奇数；
奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数；
奇数个奇数相加减，结果是奇数；偶数个奇数相加减，结果是偶数；偶数无论多少相加减，结果都是偶数。
奇数不可能被偶数整除；
任意个数相乘，只要有一个因数是偶数，则积一定是偶数。
(二)质数合数：
1、 质数明星：2和5；
2、 100以内质数：25个；
3、 除了2和5以外，其余的质数个位只能是1,3,7,9；
4、 最小的四位质数：1009；
5、 判断较大数P是否为质数的方法：
(1)找一个比P大接近于P平方数K2；
(2)列出所有不大于K的质数去除P；
(三)因数定理：
1、因数个数定理：
(1) 分解质因数，写成标准式；
(2) 将每个不同的质因数的指数+1，然后连乘，得出个数；
2、因数和定理：
(1)分解质因数，写成标准式；
(2)将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂，求和，然后再将这些得到的和相乘；
3、因数积定理：
把因数从小到大配对相乘，奇数个因数时，最中间的因数直接相乘。

(四)整除
（一） 末位系：2、5、8,5、25、125的特征
1、 末位是偶数，能被2整除；末位是0、5，能被5整除；
2、 末2位能被4或者25整除，这个数就能被整除；
3、 末3位能被8或者125整除，这个数就能被整除；
（二） 求和系：3、9、99的特征
1、 数字和能被3或者9整除，这个数就能被3或者9整除；
2、 把多位数，从个位开始，2位一段，各段数的和能被99整除，这个数就能被99整除。
（三） 求差系：7、11、13特征
1、 （适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7或11或13整除,这个多位数就一定能相应被7或11或13整除．
2、 一个多位数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
(四) 拆分系：将数分解质因数，看除数是否在因数的组合中。

(五)最大公因数，最小公倍数
假设数A和数B的最大公因数，写作(A，B)；最小公倍数写作[A，B]。则A×B=最大公因数×最小公倍数
(六)余数
（一） 带余除法 被除数÷除数=商......余数，表示成：
余数要小于除数，如果大于除数，则再除以除数取余。
计算公式：(1)被除数=商×除数+余数
(2)被除数-余数=商×除数
(3)(被除数-余数)÷商=除数
（二） 余数三宝（余数定理）：三大性质
余的和等于和的余；余的差等于差的余；余的积等于积的余。
（三） 余数两招：加同和，减同差
同一个数分别除以两个数a和p，所得的余数分别为b和q，如果a+b=p+q,则加同和，这个数为ap+(a+b)；如果a-b=p-q,则为减同差，这个数为ap-(a-b)。
（四） 弃九法

所以这个数能否被9整除只取决于数字和是否能被9整除，能被9整除的部分不用看，弃掉，所以称为弃9法。

(七)完全平方数
性质1: 完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.
性质2: 完全平方数除以5只能余0、1、4.
完全平方数除以3只能余0、1.
完全平方数除以4只能余0、1.
性质3:
⑴ 偶指性—分解质因数后每个质因数的指数都是偶数；
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然. 特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方；

1、用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少?

2、从0~9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和 一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是谁？(弃九法)

3、一个四位数是这个数的数字和的83倍，求这个四位数

4、⑴ 220除以7的余数是多少？
⑵ 1414除以11的余数是多少？

5、算式1×4×7×10×……×2011的计算结果除以9的余数是多少？

6、⑴ 有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数.
⑵ 用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍. 如果这个数大于1，那么这个数是多少？

7、一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是 .

8、三个数p，p+1，p+3都是质数，它们的倒数和的倒数是多少？

9、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9组成若干个质数，要求每个数字恰好使用一次，请问，这些质数和的最小值是多少？

10、已知两个自然数的的差为4，它们的最大公因数和最小公倍数的积为252，求这两个自然数。

11、已知三个合数A、B、C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，那么A+B+C的最小值是多少？

12、已知a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面算式：(a+b)(c+d)e=2890，那么，这5个数中最大的数至多是谁？

13、2001个连续自然数的和为a×b×c×d，期中a、b、c、d均为质数，则a+b+c+d的最小值为多少？

14、有一列数，第1个数是1，从第2个起，每个数比它前面相邻的加3，最后一个数是100，将这列数相乘，则在计算结果的末尾中有多少个连续的“0”？

游戏对策问题：
1、 桌子上放着55根火柴, 甲、乙二人轮流每次取走1～3根, 规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法, 甲先取, 那么谁将获胜？

2、有100枚硬币, 甲乙两人轮流取, 每次取1~8枚, 规定取到最后一枚的人获胜. 请问: 甲先取, 谁有必胜策略?

3、有10箱钢珠, 每个钢珠重10克, 每箱600个. 如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克, 那么, 要找出这箱次品最少要称几次？

四、平面几何
(一)三角形
三角形的边：
①三角形任意两边之和大于第三边.
②三角形任意两边之差小于第三边.
按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
边和角的关系在同一个三角形中，等边对等角

例1：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝

例2：如图，八边形的8个内角都是135°，已知AB＝EF，BC＝20，DE ＝10，FG＝30，则AH＝ 。

二、 等积变形

(二)共角模型（鸟头模型）

(三)燕尾模型

(四)相似模型

(五)蝴蝶模型
1、 任意四边形蝴蝶模型 2、梯形蝴蝶模型

任意四边形：①或者
②
梯形： ①
②；
③梯形的对应份数为
(六)勾股定理
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
如右图：a、b分别代表直角三角形ABC的两条直角边的长度，C为斜边的长度，则：
例1：如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?

例2：如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是AC、BC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。

例3：如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

例4:如图，在三角形ABC中,BC=8厘米，高是6厘米,EF分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？

例5:如图所示，在平行四ABCD中，E为AB的中点,AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

例6：如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△ABC等积的三角形一共有哪几个三角形？

例7:如图,ABCD为平行四边形,EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。

例8：在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面积是7平方 厘米，则三角形DEC的面积是 平方厘米

例9：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？

例10：如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为16厘米，求阴影部分的面积?

例11：如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=CD=4，BE=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

例12：如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？

例13：如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=BC；延长CA至F，使AF=2AC，求三角形DEF的面积。

练习1：已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积。

练习2：如图，在∠MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC 、△BCD、△CDE、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于多少？

练习3：等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、HD、DC、AG、GE、EB的长?

练习4：E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行， 若AD=5，BC=7，AE=5， EB=3。求阴影部分的面积。

练习5：如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使BC=2CE，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

练习6：如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为多少？

练习7：如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求△AEG 的面积。

练习8：如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少？

勾股定理
例题1：求下面各三角形中未知边的长度。
例题2：根据图中所给的条件，求梯形ABCD的面积。

例题3：如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）

例题4：一个直角三角形的斜边长8厘米，两个直角边的长度差为2厘 米，求这个三角形的面积？

练习1：如图，在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40，∠ADB＋∠DBC＝90°。请问：四边形ABCD的面积是多少？

练习2：从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形 的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？

巧求面积
1、 边长分别为6、8、10厘米的正方形放在一起，求四边形ABCD的面积。

2、 一块长方形的地，长是80米，宽是45米，如果宽增加5米，要使原来的面积保持不变，长要变成多少米？
3、 一个长方形宽减少2米，或长减少3米，面积均减少24米，求原长方形面积？

4、 如图，一块长方形纸片，长7厘米，宽5厘米，把它的右上角往下折叠，再把左小角向上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？

5、 如图，7个完全相同的长方形组成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少？

6、 一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这是剩下的部分正好是一个正方形，求原来长方形的面积？

7、 有一大一下两个正方形试验田，它们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？

8、 图中大正方形的面积为9，中间小正方形的面积为1，甲乙丙丁是四个梯形，那么乙与丁的面积之和是多少？

9、 下图中甲的面积比
乙的面积大多少？
10、 如图，ABCD是长为7，宽为4的长方形，DEFG是长为10，宽为2的长方形，求△BCO与△EFO的面积差。

11、 如图，E、F、G都是正方形ABCD三条边的中点，△OEG比△ODF大10平方厘米，那么梯形OGCF的面积是多少平方厘米？

12、如图，在直角梯形ABCD中，三角形ABE和三角形CDE都是直角等腰三角形，且BC=20厘米，那么直角梯形ABCD的面积是多少？

13、 如图正方形ABCD被两条平行的直线截成三个面积相等的部分，其中上下两部分都是等腰直角三角形，已知两条截线的长度都是6厘米，那么正方形的面积是多少？

14、正方形ABCD面积为12平方厘米，矩形DEFG的长DG=16厘米，求它的宽？

对角模型：任意一个矩形被分割成四个长方形，用a、b、c、d表示这四块面积，则有a×d=c×b
15、在矩形ABCD中，连接对角线BD，过BD线上任意一点P，作EF平行AB，GH平行BC，S△BPF=3，S△PHD=12，求矩形ABCD的面积

例1：如图，是一个由2个半圆、2个扇形、2个正方形组成的“心型”。已知 半圆的直径为10，那么，“心型”的面积是多少？(圆周率取3.14)

例2：图中四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少？(圆周率取3.14)

例3：图中阴影部分的面积。(圆周率取3.14)

例4：如图， ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。(圆周率取3.14)

例5：求图中阴影部分的面积。(圆周率取3)

例6：在图中，两个四分之一的圆弧半径是2和4，求两个阴影部分的面积之差。(圆周率取3)

例7：如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)

例8：如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE 半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积。(圆周率取3)

例9：如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC的长.(π取3.14)

例10：已知三角形ABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=2厘米， 求阴影部分的面积。(π取3.14)

例12：在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

1. 如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取)

2．计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。

3．请计算图中阴影部分的面积．

4．如下图，直角三角形的两条直角边分别长和，分别以为圆心，为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是，那么角是多少度()

5．如下图所示，是半圆的直径，是圆心，，是的中点，是弦的中点．若是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米．

6．如图，是等腰直角三角形，是半圆周的中点，是半圆的直径．已知，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取)

7．如图，图形中的曲线是用半径长度的比为的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？

8．如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(取3)

9．如图，直角三角形的三条边长度为，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？

10. 如图，大圆半径为小圆半径两倍，已知图中阴影部分面积为S1， 空白部分面积为S2，那么这两部分面积之比是多少？（π取3.14）

11. 如图，边长为3的两个正方形BDKE。正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧.求阴影部分面积.(π取3.14)

五、 立体几何

例1：一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米，求这个大长方体的体积。

例2：有n个同样大小的正方体,将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面。如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米,那么n为多少？

例3：有大、中、小三个正方形水池， 它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里, 两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？

例4：⑴ 一只装有水的长方体玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水深多少厘米?

(2) 一只装有水的长方体玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是15厘米, 水深10厘米。现将一个底面积是16平方厘米, 高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水深多少厘米？

例5：如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行于正方体的棱)，且穿透。另有一长方体容器，从内部量，长、 宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米。若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水 下部分的体积为 立方厘米。

例6：如图若以长方形的一条宽AB为轴旋转一周后，甲乙两部分所成的立体图形的体积比是多少？

六、 行程问题
1、相遇问题：路程=速度和×时间；
2、追及问题：相差路程=速度差×时间；
3、行船问题：顺水速度=静水船速+水流速度；
逆水速度=静水船速-水流速度；
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2；
静水船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；
设数法：题目中没有给出必要的数据，且此数据对最后结果没有影响，则可设具体的数来计算；
水中相遇与追及，在求时间的时候，可不考虑水速。
4、过桥问题：路程=火车长度+桥的长度；
(隧道) 路程=火车速度×时间；
5、扶梯问题：（1）顺行速度＝人速＋电梯速度
（2）逆行速度＝人速－电梯速度
（3）电梯级数＝可见级数＝路程
例1：在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面。从站台到地面有多少级台阶？

例2：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，桐桐由下往上走，刚刚由上往下走，结果桐桐走了30级到达楼下，刚刚走了60级到达楼下。如果 刚刚单位时间内走的扶梯级数是桐桐的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

例3：一列火车，从车头到达车尾算起，用8秒全部驶上一座大桥，29秒后全部驶离大桥。已知大桥长522米，火车全长是多少米？

例4：一列货车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔1米，这列货车以每小时60千米的速度穿过山洞，恰好用了2分钟。这个山洞长多少米？

(二)高阶行程问题
6、环形路问题：（1）相向而行：相遇一次=合走一圈；