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初中数学用因式分解法解一元二次方程及答案

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初中数学用因式分解法解一元二次方程

一．选择题（共7小题）
1．（2013秋•广州校级期中）用因式分解法解一元二次方程x（x﹣1）﹣2（1﹣x）=0，正确的步骤是（　　）

A．
（x+1）（x+2）=0
B．
（x+1）（x﹣2）=0
C．
（x﹣1）（x﹣2）=0
D．
（x﹣1）（x+2）=0

2．（2012春•萧山区校级期中）解一元二次方程2x2+5x=0的最佳解法是（　　）

A．
因式分解法
B．
开平方法
C．
配方法
D．
公式法

3．解一元二次方程（y+2）2﹣2（y+2）﹣3=0时，最简单的方法是（　　）

A．
直接开平方法
B．
因式分解法
C．
配方法
D．
公式法

4．（2015•东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣2x=0的解是（　　）

A．
0
B．
2
C．
0，﹣2
D．
0，2

5．（2014•平顶山二模）一元二次方程﹣x2=3x的解是（　　）

A．
3
B．
﹣3
C．
3，0
D．
﹣3，0

6．（2011春•招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（　　）

A．
c≤0
B．
c＜0
C．
c＞0
D．
c≥0

7．（2011•北京模拟）若x=﹣1是一元二次方程x2﹣ax=0的一个解，则a的值（　　）

A．
﹣1
B．
1
C．
0
D．
±1

二．填空题（共3小题）
8．（2012秋•开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是　　　　　　．

9．（2012•铜仁地区）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是　　　　　　．

10．（2014秋•禹州市期中）一元二次方程（4﹣2x）2﹣36=0的解是　　　　　　．

三．解答题（共10小题）
11．（2006秋•阜宁县校级月考）用指定的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣4x+1=0（配方法）；
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x（因式分解法）；
（3）x2﹣x﹣3=0（公式法）．

12．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程．
（1）x2+x﹣k2x=0
（2）x2﹣2mx+m2﹣n2=0．

13．（2008•温州）（1）计算：；
（2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣3x+1=0；②（x﹣1）2=3；③x2﹣3x=0；④x2﹣2x=4．

14．用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）5x2=x
（2）4（2x+3）﹣（2x+3）2=0
（3）（x﹣2）2=（2x+3）2
（4）（x+1）2=（x﹣1）2．

15．因式分解法解方程：3x2﹣12x=﹣12．

16．用因式分解法解方程：x2﹣9x+18=0．

17．用因式分解法解方程：12x2+x﹣6=0．

18．（2013秋•黄陂区校级月考）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x）

19．（2013秋•富顺县校级期中）用因式分解法解方程（x+3）2=5（x+3）

20．因式分解法解一元二次方程．+1﹣=．

初中数学用因式分解法解一元二次方程
参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）
1．（2013秋•广州校级期中）用因式分解法解一元二次方程x（x﹣1）﹣2（1﹣x）=0，正确的步骤是（　　）

A．
（x+1）（x+2）=0
B．
（x+1）（x﹣2）=0
C．
（x﹣1）（x﹣2）=0
D．
（x﹣1）（x+2）=0

考点：
解一元二次方程-因式分解法．
专题：
计算题．
分析：
将方程左边第二项提取﹣1变形后，提取公因式化为积的形式，即可得到结果．
解答：
解：方程x（x﹣1）﹣2（1﹣x）=0，
变形得：x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，
分解因式得：（x﹣1）（x+2）=0，
故选D
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键．

2．（2012春•萧山区校级期中）解一元二次方程2x2+5x=0的最佳解法是（　　）

A．
因式分解法
B．
开平方法
C．
配方法
D．
公式法

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
方程左边缺少常数项，右边为0，左边可以提公因式x，运用因式分解法解方程．
解答：
解：方程2x2+5x=0左边可提公因式x，分解为两个一次因式的积，而右边为0，运用因式分解法．
故选A．
点评：
本题考查了解一元二次方程的解法的运用．解方程时，要根据方程左右两边的特点，合理地选择解法，可使运算简便．

3．解一元二次方程（y+2）2﹣2（y+2）﹣3=0时，最简单的方法是（　　）

A．
直接开平方法
B．
因式分解法
C．
配方法
D．
公式法

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
分析：
此题考查了数学思想中的整体思想，把（y+2）看做一个整体，设（y+2）为x，则原方程可变为x2﹣2x﹣3=0，可以发现采用因式分解法最简单．
解答：
解：设（y+2）=x
原方程可变为x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0
∴ 采用因式分解法最简单．
故选B
点评：
此题考查了数学思想中的整体思想，也就是换元思想，解题的关键是要充分理解一元二次方程各种解法的应用条件．

4．（2015•东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣2x=0的解是（　　）

A．
0
B．
2
C．
0，﹣2
D．
0，2

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
分析：
先提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
解答：
解：原方程化为：x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．故选D．
点评：
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

5．（2014•平顶山二模）一元二次方程﹣x2=3x的解是（　　）

A．
3
B．
﹣3
C．
3，0
D．
﹣3，0

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
方程移项后，右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解答：
解：方程变形得：x2+3x=0，即x（x+3）=0，
解得：x=0或x=﹣3，
故选D
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

6．（2011春•招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（　　）

A．
c≤0
B．
c＜0
C．
c＞0
D．
c≥0

考点：
根的判别式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．
解答：
解：∵一元二次方程x2+c=0有实数解，
∴ △=b2﹣4ac=﹣4c≥0，
解得：c≤0．
故选A
点评：
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．

7．（2011•北京模拟）若x=﹣1是一元二次方程x2﹣ax=0的一个解，则a的值（　　）

A．
﹣1
B．
1
C．
0
D．
±1

考点：
一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析：
由方程的解的定义，将x=﹣1代入方程，即可求得а的值
解答：
解：∵ ﹣1是关于x的方程：x2﹣ax=0的一个解，∴ 1+a=0，解得a=﹣1，
故选A．
点评：
本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．

二．填空题（共3小题）
8．（2012秋•开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是　　．

考点：
解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有
分析：
利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案．
解答：
解：∵ a=3，b=﹣4，c=﹣2，
∴ △ =b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40，
∴ x== =．
故答案为：．
点评：
此题考查了公式法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意熟记公式是关键．

9．（2012•铜仁地区）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是　x1=3，x2=﹣1　．

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据方程的解x1x2=﹣3，x1+x2=2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
解答：
解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，
∴ x﹣3=0或x+1=0，
∴ x1=3，x2=﹣1．
点评：
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

10．（2014秋•禹州市期中）一元二次方程（4﹣2x）2﹣36=0的解是　x1=﹣1，x2=5　．

考点：
解一元二次方程-直接开平方法．菁优网版权所有
分析：
先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．
解答：
解：移项得，（4﹣2x）2=36，
开方得，4﹣2x=±6，
解得x1=﹣1，x2=5．
故答案为x1=﹣1，x2=5．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

三．解答题（共10小题）
11．（2006秋•阜宁县校级月考）用指定的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣4x+1=0（配方法）；
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x（因式分解法）；
（3）x2﹣x﹣3=0（公式法）．

考点：
解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）用配方法，用配方法解方程，首先二次项系数化为1，移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；
（2）用因式分解法，用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式x﹣1，即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；
（3）利用公式法即可求解．
解答：
解：（1）2x2﹣4x+1=0
x2﹣2x+=0
（x﹣1）2=
∴x1=1+，x2=1﹣；

（2）3x（x﹣1）=2﹣2x
3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0
（x﹣1）（3x+2）=0
∴x1=1，x2=﹣；

（3）x2﹣x﹣3=0
x=
x1=，x2=．
点评：
本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

12．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程．
（1）x2+x﹣k2x=0
（2）x2﹣2mx+m2﹣n2=0．

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
两方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解答：
解：（1）分解因式得：x（x+1﹣k2）=0，
解得：x1=0，x2=k2﹣1；
（2）分解因式得：（x﹣m+n）（x﹣m﹣n）=0，
解得：x1=m﹣n，x2=m+n．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．（2008•温州）（1）计算：；
（2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2﹣3x+1=0；②（x﹣1）2=3；③x2﹣3x=0；④x2﹣2x=4．

考点：
实数的运算；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）本题涉及零指数幂还有绝对值，解答时要注意它们的性质．
（2）①x2﹣3x+1=0采用公式法；
②（x﹣1）2=3采用直接开平方法；
③x2﹣3x=0采用因式分解法；
④x2﹣2x=4采用配方法．
解答：
解：（1）；
（2）①x2﹣3x+1=0，
解得；
②（x﹣1）2=3，
∴x﹣1=或x﹣1=﹣
解得x1=1+，x2=1﹣
③x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0
解得x1=0，x2=3；
④x2﹣2x=4，
即x2﹣2x﹣4=0
x2﹣2x=4
即x2﹣2x+1=5
（x﹣1）2=5
解得x1=，．
点评：
本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键熟记零指数幂和绝对值的运算．解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法．

14．用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）5x2=x
（2）4（2x+3）﹣（2x+3）2=0
（3）（x﹣2）2=（2x+3）2
（4）（x+1）2=（x﹣1）2．

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
分析：
（1）移项后提公因式即可；
（2）移项后因式分解即可；
（3）移项后因式分解即可；
（4）直接开平方即可解答．
解答：
解：（1）5x2=x，
移项得5x2﹣x=0，
提公因式得x（5x﹣）=0，
解得x1=0，x2=．
（2）4（2x+3）﹣（2x+3）2=0，
提公因式得，（2x+3）[4﹣（2x+3）]=0，
解得，2x+3=0，1﹣2x=0，
x1=﹣，x2=．
（3）（x﹣2）2=（2x+3）2，
移项得，（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0，
因式分解得，（x﹣2﹣2x﹣3）（x﹣2+2x+3）=0，
则﹣x﹣5=0，3x+1=0，
解得，x1=﹣5，x2=﹣；
（4）（x+1）2=（x﹣1）2，
直接开平方得（x+1）=±（x﹣1），
则（x+1）=（x﹣1），（x+1）=﹣（x﹣1），
解得x1=﹣5，x2=﹣．
点评：
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

15．因式分解法解方程：3x2﹣12x=﹣12．

考点：
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分析：
先移项，再两边都除以3，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：
解：3x2﹣12x=﹣12，
移项得：3x2﹣12x+12=0，
x2﹣4x+4=0，
（x﹣2）（x﹣2）=0，
x﹣2=0，x﹣2=0，
x1=x2=2．
点评：
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．

16．用因式分解法解方程：x2﹣9x+18=0．

考点：
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分析：
分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：
解：x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x﹣3=0，x﹣6=0，
x1=3，x2=6．
点评：
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

17．用因式分解法解方程：12x2+x﹣6=0．

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
分析：
分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：
解：分解因式得：（3x﹣2）（4x+3）=0，
3x﹣2=0，4x+3=0，
x1=，x2=﹣．
点评：
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

18．（2013秋•黄陂区校级月考）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x）

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
因式分解．
分析：
先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
解答：
解：移项，得3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，
∴（x﹣5）（3x﹣13）=0，
∴x﹣5=0或3x﹣13=0，
所以x1=5，x2=．
点评：
本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．

19．（2013秋•富顺县校级期中）用因式分解法解方程（x+3）2=5（x+3）

考点：
实数范围内分解因式．菁优网版权所有
分析：
利用因式分解法进行解方程得出即可．
解答：
解：（x+3）2﹣5（x+3）=0，
（x+3）[（x+3）﹣5]=0，
∴（x+3）=0或（x+3）﹣5=0，
解得：x1=﹣3，x2=2．
点评：
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．

20．因式分解法解一元二次方程．+1﹣= ．

考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
分析：
首先移项，然后利用平方差公式使方程的左边进行因式分解，再进行去分母，最后解两个一元一次方程即可．
解答：
解：∵﹣ = ﹣1，
∴﹣= ，
∴= ，
∴= ，
∴﹣8（t﹣2）（2t+1）=5（t﹣2）（2t+1），
∴13（t﹣2）（2t+1）=0，
∴t﹣2=0或2t+1=0，
∴t1=2，t2=﹣．
点评：
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式的应用，此题难度不大．

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