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导数-极值-最值问题

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导数在研究函数中的应用
知识梳理
一 函数的单调性
1、利用导数的符号判断函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；
2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。
3、利用导数判断函数单调性的步骤：
①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
二 函数极大值、极小值
1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式 对一切成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x)的一个极大值。
2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式 对一切成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x)的一个极小值。
3、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若满足，且在c的两侧的导数异号，则c是的极值点，是极值，并且如果在c两侧满足“左正右负”，则c是的极大值点，是极大值；如果在c两侧满足“左负右正”，则c是的极小值点，是极小值
5、求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
三 函数的最大值和最小值
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：
（1）求函数ƒ在(a，b)内的极值；
（2）求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
（3）将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
四三次函数有极值导函数的判别式>0
3.3.1 利用导数研究函数的单调性
典例剖析:
题型一 求函数的单调区间
例1已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断
解答：y′=(x+)′=1－=
令＞0. 解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f(x)的导数f′(x).，然后解不等式f′(x)＞0，得递增区间，解不等式f′(x)＜0，得递减区间.
题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围
例2. 若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．
分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
解答：函数求导得，
令得或，
因为函数在区间内为减函数，所以当时，
又因为在函数区间上为增函数，所以当时，，
∴，
∴．
即实数的取值范围[5，7]
点评：已知单调区间求参数a的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。
备选题
例3：已知函数f（x）=2ax－,x∈（0,1］，若f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围；
解: 由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,即a＞－, x∈（0,1］.∴a＞－1.
当a=－1时，f′（x）=－2+对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f（x）在（0,1］上为增函数，
∴a≥－1.
评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.
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1.函数y=x+cosx在（-，+）内是（ ）
A 增函数 B减函数 C 有增有减 D 不能确定
解：因为=1-sinx0恒成立，故选A
2.．函数的单调减区间是 （ D ）
A．（ B. C．， D.以上都不对。
解：（x）=3+2>0恒成立，不存在单调减区间，故选D
3.函数 (,则 ( )
A． B.
C． D.大小关系不能确定
解：（x）=-=<0时x<1,所以(为减区间，又，故选C
4.函数的单调增区间是
解：（x）=1+2cosx>0,所以cosx>-; 单调增区间为(0,)
5.如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数，则a的取值范围是
解：定义域为（0，，=x+-a0,即ax+在定义域（0，上恒成立，又x+最小值为2,所以a2

3.3.2函数的极大值和极小值
第一课时
典例剖析
题型一 函数极值的求法
例1 已知在与时，都取得极值．
(1) 求的值；
(2)若，求的单调区间和极值；
分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。
解：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．
由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2．
（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．
x
（－∞，－）
（－，1）
（1，＋∞）
f ′(x)
＋
－
＋
∴f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－．
评析：列表求单调区间和极值不容易出错。
题型二
例2 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，（1）求的值；（2）求函数的递减区间．
分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x轴相切于（0，0）点，可先求出的值。
解：（1）函数的图象经过（0，0）点
∴ c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b
∴ 0=3×02+2a×0+b，得b=0
∴ y=x3+ax2，=3x2+2ax
当时，，当时，
当x=时，函数有极小值－4
∴ ，得a=－3
（2）=3x2－6x＜0，解得0＜x＜2
∴ 递减区间是（0，2）
评析：求出的值后，利用导数就可求出单调区间。
备选题
例3：已知函数+lnx, 求的极值.
解;因为f(x)=-, 令f(x)=0，则x=
注意函数定义域为（0，），所以驻点是x=,
当x(0, )时f(x)<0, 为减函数，
当x(，+)时f(x)>0, 为增函数，
所以x=是极小值点，的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。
评析：注意函数的定义域
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1、函数y=1+3x-x有 （ ）
A．极大值1，极小值-1， B。极小值-2，极大值2
C．极大值3 ，极小值 –2， D。极小值-1，极大值3
解：=-3+3,令=0得x= -1或x=1，易得x= -1是极小值点，x=1.是极大值点，故选D，
2、函数y=3+mx+x有极值的充要条件是 ( )
A m>0 B m<0 C m0 D, m0
解：=3+m=0则方程要有两解，函数y=3+mx+x才有极值。所以m<0，故选B
3、 f(x)在区间（a,b）的图像如右 Y
则f(x) 在区间（a,b）内有极大值点（ ）
A 2个 B。3个 C 4个 D 1个 a A B C D x
0 b
解:A,B,D三点左右导数异号，是极值点，其中A，D是极大值点
B是极小值点。注意C不是极值点，故选A
4、y=x+的极大值为＿＿＿＿＿＿极小值为＿＿＿＿＿＿＿＿
解：=1-=0，则x=-2或x=2， x=-2是极大值点,所以极大值为-4，x=2是极小值点，所以极小值为4.
5、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；
解;，时取极小值, 时取极大值，故常数的值为6
典例剖析:
题型一 函数最大值和最小值的求法
例1 (1) 求f（x）＝x3－3 x2－9 x ＋5在[－4，4]上的最大值和最小值．
(2) 求函数在[]上的最大值和最小值．
分析：求闭区间上函数最大最小值的方法为：① 求出导数为0的点和导数不存在的点，② 求出导数为0的点和导数不存在的点及端点的函数值，③ 比较它们的大小。
解答：(1)f′(x)＝3 x2 －6 x －9＝3（x ＋1）（x －3）
令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3
∴ f（x）在x ＝－1处有极大值f（－1）＝10
f（x）在x ＝3处有极小值f（3）＝－22
在区间端点处f（－4）＝－71，f（4）＝－15
比较上述结果得：f（x）在[－4，4]上的最大值为f（－1）＝10，最小值为f（－4）＝－71．
(2) 当时，．由得，． 为不存在的点．由于．所以，函数的最大值是最小值是．
点评：利用导数求最值问题是导数的一个重要应用。
题型二 函数最大值和最小值的综合应用
例2．已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.
分析：先讨论在区间上的单调性，再求最大值和最小值。
解
令=0,得
若a>0,

0

+
0
-

↗
极大
↘
因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,

若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,

评析：函数的单调性要借助导数的符号，故要对a的符号进行讨论。
备选题
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1、函数在区间上的最小值为（ ）
A B C D
解：
得而端点的函数值，得，故选D
2、函数y=1+3x－x3有（ ）
A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3
C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3
解：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时, y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3，故选D
3、下列结论正确的是（ ）
A．若是在上的极大值点，则是在上的最大值
B．若是在上的极大值点，则是在上的最大值
C．若是在上唯一的极大值点，则是在上的最大值
D．若是在上唯一的极大值点，且在上无极小值点，
则是在上的最大值
解：故选D
4、函数的最小值为____________。
解：在恒成立，为增函数，故最小值为
5、函数在区间上的最大值是 。
解：，比较处的函数值，得
课外作业
一．选择题
1、在区间上的最大值是（ ）
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
解：，令可得x＝0或2（2舍去），当－1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2，故选C

2、已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，则m值是（ ）
A.－37 B.－29 C.－5 D.3
解： 或，故，故选D
3、函数在内有最小值，则的取值范围是（ ）
A B C D
解：，故选B
4、函数f(x)=x2-4x+1在[1，5]的最大值和最小值分别为 （ ）
A、f(1)，f(5) B、f(2)，f(5) C、f(1)，f(2) D、f(5)，f(2)
解：由二次函数可得，故选D
5、方程的实根的个数是（   ）
A  3   B  2    C  1    D   0
解：设f(x)= ,∴
方程f ′(x)=0的△=4>0,方程的两根,并且的系数大于0,则函数f (x)的图象为先增后减再增，且在x=1取得极大值，在x=3取得极小值，又f (3)=-10<0，由此可得出函数f (x)的简图。可知方程x3-6x2+9x-10=0有三个实根，故选A
6、设M，m分别是函数在上的最大值和最小值，若，则
A、等于0 B、小于0 C、等于1 D、不确定
解：因为，所以为常数函数，故，故选A
7、函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：令，当时，；当时，，
，在定义域内只有一个极值，所以，故选A
8、函数，在上的最大、最小值分别为
A.、 B、 C、 D、
解：，讨论点，故选B.
二．填空题
9、函数的最大值是__________。
解：，当时，的最大值是2
10、函数f(x)=－x在［-2,2］上的最小值为____
解：=-1,x>0时>0；x<0时<0.x=0是极小值点，也是最小值点。
最小值为1。
11、对于总有≥0 成立，则= ．
解：若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
三．解答题
12、求函数在内的最小值．
解：．在上，令得．
当时，；当时，，故在处取得极小值．则函数在点处取得最小值．
13、已知在时有极大值6，在时有极小值，求 的值；并求在区间[－3，3]上的最大值和最小值.
.解：（1）由条件知

（2），
x
－3
(－3,－2)
－2
(－2,1)
1
(1,3)
3

＋
0
－
0
＋

↗
6
↘

↗

由上表知，在区间[－3，3]上，当时，，时，
14、已知：f(x)=log3,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，说明理由.
解：设g(x)=
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
x=1是g(x)的极小值点，
∴ ∴ 解得
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.
思悟小结
求可导函数f（x）的最值的方法：
（1）求f（x）在给定区间内的极值；
（2）将f（x）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

3.4生活中的优化问题举例
知识梳理
1、在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，通常称为优化问题。解决优化问题的常见方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用单调性等。
2、不少优化问题，可以化为求函数最值问题，对于函数的最值问题，多利用函数的图像、性质以及不等式的性质来解题。其中求导数是求函数最大（小）值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与利润及其成本有关的最值问题；效率最值问题等。
3、利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；
（2）求函数的导数，解方程；
（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
解决生活中的优化问题应当注意的问题：
（1）在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去；
（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值；
（3）在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应该确定函数关系式中自变量的定义区间。
典例剖析:
题型一 面积最小问题
例1 如图，等腰梯形的三边分别与函数，的图象切于点.求梯形面积的最小值。

解：设梯形的面积为，点P的坐标
为。由题意得，
点的坐标为，
直线的方程为。

直线的方程为
即：
令 得，
令 得，

当且仅当，即时，取“=”且，
时，有最小值为.
梯形的面积的最小值为。
评析：本题用不等式求最小值，也可以用导数求最小值。
题型二 最大利润问题
例2 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)
解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200－x2)x－(50000+200x)
=－x3+24000x－50000(x≥0).
由f′(x)=－x2+24000=0,解得x1=200,x2=－200(舍去).
∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x1=200使f′(x)=0,
∴它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).
∴每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.
评析：当只有一个点使时，就是最大利润。

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1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )
A B C D
解：设高hcm,底半径为rcm,+=400.又体积V=h， 则V=（400-）h，令=0，得唯一极值点h=，故选D
2、已知一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱的侧面积最大值为( )
A B 3 C D
解：设圆柱高h, 圆柱底半径x,则+=;
=2xh=2x,令y==16(-+),
=0得唯一极值点x=,所以h=r.
所以最大值，故选A
3、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为 （ ）
Ａ．90 Ｂ．95 Ｃ．100 Ｄ．105
解：设售价为元时利润为，此时售量为

当时，（元）。即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元，故选A
4.用以长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为 .
解:设矩形长为xm,则宽为（8-x）m, 矩形面积s=x(8-x) (0<x<8)
令=8-2x=0,得x=4. 所以=16（）
5. 一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
解：（1）设小正方形边长为x cm,
则V=（8－2x）·(5－2x)x=4x3－26x2+40x (0<x<)
V′=4(3x2－13x+10)
V′=0得x=1或（舍去）
，
根据实际情况，小盒容积最大是存在的，
∴当x=1cm时，容积V取最大值为18cm3.

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