三角比公式补充(积化和差-和差化积-万能公式)讲课教案.doc

三角比公式补充(积化和差-和差化积-万能公式)

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北辰教育学科老师辅导讲义
学员姓名： 年级： 高一年级 辅导科目：数学 学科教师：
授课日期
2016年1月29日
授课时段
15：00-17：00
授课主题
三角比公式补充（积化和差，和差化积，万能公式）
教学内容
一．课前回顾
二倍角公式与半角公式是两角和与差公式的延续，在利用公式计算三角比时，一定要关注角的范围，公式的记忆要掌握技巧，对称记忆，注意公式的正用与反用，还有“变用”同时不要忘记了三角比的定义式，以及几个常见的三角恒等式.
最著名的就是：
上节课的问题解释如下：
的值当确定时，是唯一确定的，不可能出现正负两个值，

同号的，

二．知识梳理
知识点1：积化和差
(1)
(2)
(3)
(4)
证明：
① ②
①+②得：
①-②得： 其它同理可证.
知识点2：和差化积
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
证明：
其它同理可证.

知识点3：万能公式
（1） （2） （3）
证明：

1°

2°

3°
令

注意：
1°上述三个公式统称为万能公式；
2°这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁；
3°上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小.

三．例题讲解
1.和差化积与积化和差
例1： （1） （2）

巩固练习：
1、给出下列关系式：
①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；
②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；
③sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ；
④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ；
⑤sin xsin y＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．
其中正确的序号是________．
2、cos72°－cos36°的值为_______________.

例2：求证：
证明：

巩固练习：
1、求证下列各式：
（1）
（2）

2、求证：

2.万能公式
例3： 已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值.

巩固练习：
1、

2、已知且，求的值.

3、

例4： ,求值.

巩固练习:
1、 已知，求证.

2、 若,求值.

3.三角比化简常用方法

（1）定义法
例5：化简

（2）弦切互化法
例6：

例7：
（3）变用公式

说明: 公式在解题中运用非常灵活.常常变形为：

例8：
（4）连锁反应法

（5）升降次法
例9：

（6）基本技巧
例10：(1)
(2)

4.综合题选讲
例11： 已知cos(α－β)= 都是锐角，求cos(α+β)的值.

例12：已知求（１）（２）．

例13：猜想化简后的结果（证明否？）

四．归纳总结
1.三角比的化简，难点在于角，角的范围难，角的灵活拼凑难，以角为目的去解题；
2.所有公式都以定义式为基础，不会的地方回归定义；
3.要重视“1”的作用；
4.计算要准确.

五．课后作业
1．下列等式错误的是(　　)
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB
C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB
2．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形

3.化简的结果是 (　　)
A．cot 2α B．tan 2α
C．cot α D．tan α
4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
5．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝___________.

6. 在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．

7.在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos .

8.已知：a+bÎ(，p)，a-bÎ(0，)，且sin(a-b)=，cos(a+b)= -，求b.

9.已知且是第二象限的角，求．

10.在△ABC中，求证：sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2.

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