导数专题讲义四---虚设零点法复习课程.doc

导数专题讲义四---虚设零点法

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导数中虚设零点法
探究1——整体代换，将超越式换成普通式
设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅱ）证明：当时.

变式1：（2018·常州期末·20）
已知函数，其中为常数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若，设函数在上的极值点为，求证：．

探究2——降次留参，建立含有参数的方程
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。

探究3：反代消参，构造关于零点单一函数
已知函数．
⑴当时，求函数的极值；
⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．

变式2
已知函数．
⑴当时，求函数的极值；
⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围

变式1【答案】解：（1）当时，，定义域为．
，令，得．

＋
0
－

↗
极大值
↘
∴当时，的极大值为，无极小值．
（2），由题意对恒成立．
∵，∴，
∴对恒成立．
∴对恒成立．
令，， 则，
①若，即，则对恒成立，
∴在上单调递减，
则，∴，∴与矛盾，舍去；
②若，即，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴单调递增，
∴当时，，
∴． 综上．
（3）当时，，．
令，，
则，令，得．
①当时，，∴单调递减，，
∴恒成立，∴单调递减，且，
②当时，，∴单调递增，
其中，
又，
∴存在唯一，使得，∴，
当时，，∴单调递增，
当时，，∴单调递减，且，
由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，
∴当时，取极大值．
∵，∴，
∴，
又，∴，∴．
探究2解析：解：（1）依题意可得
当即时，恒成立，故，所以函数在上单调递增；
当即时，
有两个相异实根且
故由或，此时单调递增
由，此时此时单调递增递减
综上可知
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递增，在单调递减。
（2）由题设知，为方程的两个根，故有

因此
同理
因此直线的方程为
设与轴的交点为，得
而
由题设知，点在曲线的上，故，解得或或
所以所求的值为或或。

探究3【答案】（1）函数的定义域为
当时，，
所以………………………………………………2分
所以当时，，当时，，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值；…………………4分
（2）设函数上点与函数上点处切线相同，
则
所以 ……………………………………6分
所以，代入得：
………………………………………………8分
设，则
不妨设则当时，，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分
代入可得：
设，则对恒成立，
所以在区间上单调递增，又
所以当时，即当时, ……………12分
又当时
……………………………………14分
因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；
即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．
又由得：
所以单调递减，因此
所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分
【变式2】（1）函数的定义域为
当时，，
所以………………………………………………2分
所以当时，，当时，，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值；…………………4分
（2）设函数上点与函数上点处切线相同，
则
所以 ……………………………………6分
所以，代入得：
………………………………………………8分
设，则
不妨设则当时，，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分
代入可得：
设，则对恒成立，
所以在区间上单调递增，又
所以当时，即当时, ……………12分
又当时
……………………………………14分
因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；[来源:学_科_网]
即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．
又由得：
所以单调递减，因此
所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分

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