大学物理答案第10章教学提纲.doc

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第十章　静电场中的导体与电介质
10－1　将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（　　）
（A） 升高　　（B） 降低　（C） 不会发生变化　　（D） 无法确定
分析与解　不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）.
10－2　将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N的左端接地（如图所示），则（　　）
（A） N上的负电荷入地　　　　（B）N上的正电荷入地
（C） N上的所有电荷入地 （D）N上所有的感应电荷入地

题 10-2 图
分析与解　导体N接地表明导体N为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N在哪一端接地无关.因而正确答案为（A）.
10－3　如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（　　）
（A） （B）
（C） （D）

题 10-3 图
分析与解　达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导
体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A）.
10－4　根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( )
（A） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷
（B） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零
（C） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷
（D） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关
（E） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关
分析与解　电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面
内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E）.
10－5　对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（　　）
（A） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（C） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍
（D） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍
分析与解　电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有

即E ＝E０/εｒ，因而正确答案为（A）.
10－6　不带电的导体球A含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷qb 、qc ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷qd （如图所示）.试求点电荷qb 、qc 、qd 各受多大的电场力.

题 10-6 图
分析与解　根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷qd的作用力.

点电荷qd 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电
荷qb 、qc处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷qb 、qc受到的作用力为零.
10－7　一真空二极管，其主要构件是一个半径R１＝5.0×10－4 m的圆柱形阴极和一个套在阴极外、半径R２＝4.5×10－3 m 的同轴圆筒形阳极．阳极电势比阴极电势高300 V，阴极与阳极的长度均为L＝2.5×10－２ m．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：（１） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．

题 10-7 图
分析　（1） 由于半径R１＜＜L，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率．
（2） 计算阳极表面附近的电场强度，由F＝qE 求出电子在阴极表面所受的电场力．
解　（1） 电子到达阳极时，势能的减少量为

由于电子的初始速度为零，故

因此电子到达阳极的速率为

（2） 两极间的电场强度为

两极间的电势差

负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度

电子在阴极表面受力

这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１×10－3１kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5×10１5 倍．
10－8　一导体球半径为R１ ，外罩一半径为R2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V０ ．求此系统的电势和电场的分布．
分析　若，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．
若，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R１、R2表示．

题 10-8 图
解　根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为
r ＜R１时， 　
R１＜r＜R2 时，
r＞R2 时，
由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．
r ＜R１时，

R１＜r＜R2 时，　

r＞R2 时，　

也可以从球面电势的叠加求电势的分布：
在导体球内（r ＜R１）

在导体球和球壳之间（R１＜r＜R2 ）

在球壳外（r＞R2）为

由题意　

得

于是可求得各处的电场强度和电势的分布：
r ＜R１时，
；
R１＜r＜R2 时，　
；
r＞R2 时，
；
10－9　地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．
解　由于地球半径R1＝6.37×106 m；电离层半径R2＝1.00×105 m ＋R1 ＝6.47×106 m，根据球形电容器的电容公式，可得

10－10　两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．
分析 假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布,

再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容
解 建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在P点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得P点电场强度的大小为

电场强度的方向沿x轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之间的电势差为

上式积分得

因此，输电线单位长度的电容

代入数据

题 10-10 图
10－11　电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底
板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0 mm2 ，两金属片之间的距离是0.600 mm.如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？

题 10-11 图
分析　按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：
解　按下按键时电容的变化量为

按键按下的最小距离为

10－12　一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm2 ，厚度为0.10 mm．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．
解　（1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容

（2） 电容器加上U ＝12V 的电压时，极板上的电荷

极板上自由电荷面密度为

晶片表面极化电荷密度

（3） 晶片内的电场强度为

10－13　如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10－８C，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d ＝0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（2） 离球心为r ＝5 cm、15 cm、25 cm 处的V；（3） 极化电荷面密度σ′．

题 10-13 图
分析　带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理可得D（r）．再由可得E（r）．
介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系求得，或者由电势叠加原理求得．
极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度．
解　（1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得
r ＜R　　　　　 　
；
R ＜r ＜R ＋d
；
r ＞R ＋d
；
将不同的r 值代入上述关系式，可得r＝5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外．
r1 ＝5 cm，该点在导体球内，则
；
r2 ＝15 cm，该点在介质层内，εｒ ＝5.0，则

r3 ＝25 cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则
；

（2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得
r3 ＝25 cm，　

r2 ＝15 cm，　

r1 ＝5 cm，　

（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε＝ε0 ，极化电荷可忽略．故在介质外表面；

在介质内表面：

介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号．
10－14　人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2 ×10－9 m，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10 －3 C／m2 ，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差．
解　（1）细胞壁内的电场强度；方向指向细胞外．
（2） 细胞壁两表面间的电势差．
10－15　如图（a）所示，有两块相距为0.50 的薄金属板A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A、B 分别相距0.25 mm，金属板面积为30 mm ×40 mm.求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？

题 10-15 图
分析　薄金属板A、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B 间的电容.
解　（1） 由等效电路图可知

由于电容器可以视作平板电容器，且，故 ，因此A、B 间的总电容

（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于（或者）极板短接，其电容为零，则总电容

10－16　在A 点和B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示．（1） 求A、B 两点之间的等效电容；（2） 若A、B 之间的电势差为12 V，求UAC 、UCD 和UDB ．

题 10-16 图
解　（1） 由电容器的串、并联，有

求得等效电容CAB ＝4 μF．
（2） 由于，得

10－17　如图，有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E．

题 10-17 图
分析　电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有

相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有

综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷
均会增加，而电势差保持不变．
解　（1） 空气平板电容器的电容

充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为

（2） 插入电介质后，电容器的电容C1 为

故有

介质内电场强度　　

空气中电场强度　　　

（3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为

导体中电场强度
空气中电场强度

无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/εｒ．
10－18　为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εｒ 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A，B为平板电容器的导体极板，d0 为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？

题 10-18 图
分析　导体极板A、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C与材料的厚度的关系，可参见题10－17 的分析．
解　由分析可知，该装置的电容为

则介质的厚度为

如果待测材料是金属导体，其等效电容为

导体材料的厚度

实时地测量A、B 间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．
10－19 　有一电容为0.50 μF 的平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 mm的聚四氟乙烯薄膜所隔开，（1） 求该电容器的额定电压；（2） 求电容器存贮的最大能量．
分析　通过查表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度Eb ＝1.9 ×107 V／m，电容器中的电场强度E≤Eb ，由此可以求得电容器的最大电势差和电容器存贮的最大能量．
解　（1） 电容器两极板间的电势差

（2） 电容器存贮的最大能量

10－20　半径为0.10 cm 的长直导线，外面套有内半径为1.0 cm 的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气．略去边缘效应，求：（1） 导线表面最大电荷面密度；（2） 沿轴线单位长度的最大电场能量．
分析　如果设长直导线上单位长度所带电荷为λ，导线表面附近的电场强度

查表可以得知空气的击穿电场强度Eb ＝3.0 ×106（V／m），只有当空气中的电场强度E≤Eb 空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出σ的极限值．再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大电场强度．
解　（1） 导线表面最大电荷面密度

显然导线表面最大电荷面密度与导线半径无关．
（2） 由上述分析得，此时导线与圆筒之间各点的电场强度为

(其他)

沿轴线单位长度的最大电场能量

10－21　一空气平板电容器，空气层厚1.5 cm，两极间电压为40 kV，该电容器会被击穿吗？ 现将一厚度为0.30 cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10 ＭV· m－1 ．则此时电容器会被击穿吗？
分析　在未插入玻璃板时，不难求出空气中的电场强度小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题10－17 可知，若电容器与电源相连，则极板间的电势差维持不变，电容器将会从电源获取电荷．此时空气间隙中的电场强度将会增大．若它大于空气的击穿电场强度，则电容器的空气层将首先被击穿．此时40 kV 电压全部加在玻璃板两侧，玻璃内的电场强度如也大于玻璃击穿电场强度的值，则玻璃也将被击穿．整个电容器被击穿．
解　未插入玻璃时，电容器内的电场强度为

因空气的击穿电场强度 ，，故电容器不会被击穿．
插入玻璃后，由习题6 －26 可知，空气间隙中的电场强度

此时，因 ，空气层被击穿，击穿后40 kV 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度

由于玻璃的击穿电场强度， ，故玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿．
10－22　某介质的相对电容率，击穿电场强度为 ，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF，而耐压为4.0 kV的电容器，它的极板面积至少要多大．
解　介质内电场强度

电容耐压Um ＝4.0 kV，因而电容器极板间最小距离

要制作电容为0.047 μF 的平板电容器，其极板面积

显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装．
10－23　一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d．求：（1） 电容器能量的改变；（2） 此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系．
分析　在将电容器两极板拉开的过程中，由于导体极板上的电荷保持不变，
极板间的电场强度亦不变，但电场所占有的空间增大，系统总的电场能量增加了．根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服两极板间的静电引力所作的功．
解　（1） 极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为

在外力作用下极板间距从d 被拉开到2d，电场占有空间的体积，也由V 增加到2V，此时电场能量增加

（2） 两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时，应有F＝－Fe ，则外力所作的功为

外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加．
只供学习与交流