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matlab实现插值法和曲线拟合

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插值法和曲线拟合
电子科技大学
摘要：理解拉格朗日多项式插值、分段线性插值、牛顿前插，曲线拟合，用matlab编程求解函数，用插值法和分段线性插值求解同一函数，比较插值余项；用牛顿前插公式计算函数，计算函数值；对于曲线拟合，用不同曲线拟合数据。
关键字：拉格朗日插值多项式；分段线性插值；牛顿前插；曲线拟合
引言：
在数学物理方程中，当给定数据是不同散点时，无法确定函数表达式，求解函数就需要很大的计算量，我们有多种方法对给定的表格函数进行求解，我们这里，利用插值法和曲线拟合对函数进行求解，进一步了解函数性质，两种方法各有利弊，适合我们进行不同的散点函数求解。
正文：
一、插值法和分段线性插值
1拉格朗日多项式原理
对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
[3]
拉格朗日基本多项式的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值为0。
2分段线性插值原理
给定区间[a,b], 将其分割成a=x0 <x1 <…<xn =b, 已知函数y= f(x) 在这些插值结点的函数值为
yk =f(xk)(k=0,1,…,n)求一个分段函数Ih(x), 使其满足：

(1) Ih(xk )=yk ，(k=0,1,…,n) ;

(2) 在每个区间[xk ,xk+1 ] 上,Ih (x)是个一次函数。

易知,Ih(x)是个折线函数, 在每个区间[xk ,xk+1 ]上,(k=0,1,…,n)
，
于是, Ih (x)在[a,b]上是连续的，但其一阶导数是不连续的。
3拉格朗日插值多项式算法
输入，令。
对，计算

4分段线性插值算法
输入（x,y）,k=0,1,…,n;
计算
5插值法和分段线性插值程序
按下列数据分别作五次插值和分段线性插值，画出两条插值曲线以及给定数据点。求x1=0.32, x2=0.55, x3=0.68 时的函数近似值，并比较两种方法的插值余项。

0.30
0.42
0.50
0.58
0.66
0.72

1.04403
1.08462
1.11803
1.15603
1.19817
1,23223
拉格朗日插值程序：
function lagrint
xi=[0.32,0.55,0.68];
%xi=[0.2:0.001:0.8];
x=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72];
y=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223];
L=zeros(size(y));
m=length(xi);
for i=1:m
dxi=xi(i)-x;
L(1)=prod(dxi(2:6))/prod(x(1)-x(2:6));
L(6)=prod(dxi(1:6-1))/prod(x(6)-x(1:6-1));
for j=2:6-1
num=prod(dxi(1:j-1))*prod(dxi(j+1:6));
den=prod(x(j)-x(1:j-1))*prod(x(j)-x(j+1:6));
L(j)=num/den;
end
yi(i)=sum(y.*L);
fprintf('x=%f,y=%f\n',xi(i),yi(i));
end
plot(xi,yi,'r');
axis([0.2 0.8 1.03 1.24]);
hold on
plot(x,y,'b.','markersize',20)
grid on
分段线性插值算法程序：
function [y]=div
%xi=[0.3:0.001:0.72];
x0=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72];
y0=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223];
k=1;
xi=[0.32,0.55,0.68];
for j=1:3
for i=1:5
if xi(j)>=x0(i) && xi(j)<=x0(i+1) && k<=3
lx(1)=(xi(j)-x0(i+1))/(x0(i)-x0(i+1));
lx(2)=(xi(j)-x0(i))/(x0(i+1)-x0(i));
y(k)=lx(1)*y0(i)+lx(2)*y0(i+1);
k=k+1;
end
end
end
plot(xi,y,'r');
axis([0.2 0.8 1.03 1.24]);
hold on
plot(x0,y0,'b.','markersize',20)
grid on
6运算结果
拉格朗日插值结果

x=0.320000,y=1.049958
x=0.550000,y=1.141271
x=0.680000,y=1.209300
拉格朗日插值余项：

分段插值结果

ans =

1.0508 1.1418 1.2095
分段线性插值余项：

由于拉格朗日插值的余项比分段线性插值的余项要求更为严格，点少、区间小的时候，拉格朗日插值要更好。但在区间较大、节点较多的时候，分段线性插值要更好。
二、牛顿前插
1牛顿前插原理
次牛顿前插公式：插值余项：
，
阶差分记作。
阶差商是
差分和差商之间的关系是
2牛顿前插算法
输入。
对，计算各阶差分
计算函数值3牛顿前插程序：
编写一个用牛顿前插公式计算函数值的程序，要求先输出差分表，再计算x点的函数值

0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750

0.796
0.773
0.744
0.704
0.656
0.602
分别求x=0.158和x=0.636的三次插值的值，并比较二者的插值余项。
这里以x=0.636为例
function [P]=newtoncha
x0=0.636;
X=[0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750];
Y=[0.796 0.773 0.744 0.704 0.656 0.602];
h=abs(X(2)-X(1));
n=find(abs(x0-X)<3*h);
X=X(n(1):n(end));
Y=Y(n(1):n(end));
w=length(X);
R=zeros(w,w);
R(:,1)=Y(:);
for k=2:w
for j=k:w
R(j,k)=R(j,k-1)-R(j-1,k-1);
end
end
t=(x0-X(1))/h;
T=1;

for m=1:w-1
T=T*(t-m+1);
N(m)=R(m+1,m+1)*T/factorial(m);
end
P=R(1,1)+sum(N);

4运行结果：
差分表

0.796000000000000
0
0
0
0
0

0.773000000000000
-0.023000000000000
0
0
0
0

0.744000000000000
-0.029000000000000
-0.006000000000000
0
0
0

0.704000000000000
-0.040000000000000
-0.011000000000000
-0.005000000000000
0
0

0.656000000000000
-0.048000000000000
-0.008000000000000
0.003000000000000
0.008000000000000
0

0.602000000000000
-0.054000000000000
-0.006000000000000
0.002000000000000
-0.001000000000000
-0.009000000000000
X=0.636时ans =0.651459661824000 x=0,158时ans =0.790229818880000
三、曲线拟合
1曲线拟合原理：
给定数据。记拟合函数的形式为（1.1），
其中为已知的线性无关函数。
求系数使得
（1.2）
取最小值。
称
（1.3）为拟合函数或经验公式。
如果，则（1.3）为次最小二乘拟合多项式
2曲线拟合算法：
已知数据对，求多项式，使得为最小。
注意到此时，
多项式系数满足下面的线性方程组：

其中
，
然后只要调用线性方程组的函数程序即可
3曲线拟合程序：
试分别用抛物线y=a+bx2和指数曲线y=aebx拟合下列数据

1
2.5
3.5
4

3.8
1.50
26.0
33.0
画出数据点和两条拟合曲线，并通过计算2个拟合函数残差向量的2范数来比较拟合优劣。
用抛物线y=a+bx拟合程序：
function ZXE
x=[1 2.5^2 3.5^2 4^2];
y=[3.8 1.50 26.0 33.0];
m=1;
S=zeros(1,2*m+1);T=zeros(m+1,1);
for k=1:2*m+1
S(k)=sum(x.^(k-1));
end
for k=1:m+1
T(k)=sum(x.^(k-1).*y);
end
A=zeros(m+1,m+1);a=zeros(m+1,1);
for i=1:m+1
for j=1:m+1
A(i,j)=S(i+j-1);
end
end
a=A\T;
for k=1:m+1
fprintf('a[%d]=%f\n',k,a(k));
end
p=polyfit(x,y,1);
u=polyval(p,x);
plot(sqrt(x),u,'b')
hold on
plot(sqrt(x),y,'b.')
grid on
指数曲线y=aebx拟合程序：
function ZXE2
x=[1 2.5 3.5 4];
y=[3.8 1.50 26.0 33.0];
y=log(y);
m=1;
S=zeros(1,2*m+1);T=zeros(m+1,1);
for k=1:2*m+1
S(k)=sum(x.^(k-1));
end
for k=1:m+1
T(k)=sum(x.^(k-1).*y);
end
A=zeros(m+1,m+1);a=zeros(m+1,1);
for i=1:m+1
for j=1:m+1
A(i,j)=S(i+j-1);
end
end
a=A\T;
for k=1:m+1
fprintf('a[%d]=%f\n',k,a(k));
end
p=polyfit(x,y,1);
u=polyval(p,x);

plot(x,exp(u),'r')
hold on
plot(x,exp(y),'b.')
grid on
4运行结果：
拟合曲线：

a[1]=-0.168731
a[2]=0.833636
结论：
求解散点函数的时候，点少、区间小的时候，拉格朗日插值要更好。但在区间较大，节点较多的时候，分段线性插值要更好。对函数的求解和线性拟合如上。
参考文献：
[1] 孙志忠等 《计算方法与实习》 第五版 东南大学出版社

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