高二数学-利用导数研究函数的单调性--极值--最值--(不含参)学习资料.doc

高二数学-利用导数研究函数的单调性--极值--最值--(不含参)

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§3.2　导数与函数的单调性、极值、最值

1． 函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x) >0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) < 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2． 函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3． 函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件． (　　)
(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的． (　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大． (　　)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (　　)
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． (　　)
(6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点． (　　)
2． 函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是 (　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
3． 已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 (　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
4． 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
5． 函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案　[－3，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，
则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.

题型一　利用导数研究函数的单调性
例1　已知，，且，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
变式训练
⑴已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是
A． B．
C． D．
⑵已知函数，则函数的零点个数为______________．
⑶．已知函数的导函数为．
①解不等式；
②求函数的单调区间．

题型二　利用导数求函数的极值
例2　　设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

例3 如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于 (　　)

A. B. C. D.

变式训练
⑴.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是 (　　)

⑵.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有 (　　)
A.极大值5，极小值-27
B.极大值5，极小值-11
C.极大值5，无极小值
D.极小值-27，无极大值
⑶.函数f(x)=mln x-cos x在x=1处取得极值，则m的值为 (　　)
A.sin 1 B.-sin 1
C.cos 1 D.-cos 1
⑷.设函数f(x)=xex，则 (　　)
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
⑸.若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为
(　　)
A. B. C. D.
⑹.已知a∈R，且函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点，则 (　　)
A.a<-1 B.a>-1
C.a<- D.a>-
⑺.函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为　　. 
⑻.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m等于　　　　　. 

1.设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0≤x≤2 015π)，则函数f(x)的各极大值之和为 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知函数f(x)=x4+9x+5，则f(x)的图象在(-1，3)内与x轴的交点的个数为　　　　. 
3已知函数f(x)＝xln x ，求函数f(x)的极值点
题型三　利用导数求函数的最值
例3　已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．

变式训练　
1.函数f(x)=x2ex+1，x∈[-2，1]的最大值为 (　　)
A.4e-1 B.1 C.e2 D.3e2.
2.函数f(x)=2+，x∈(0，5]的最小值为 (　　)
A.2 B.3 C. D.2+
3 若函数y=x3+x2+m在[-2，1]上的最大值为，则m等于 (　　)
A.0　　　 B.1　　　 C.2　　 　D.
4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为 (　　)
A.0≤a<1 B.0<a<1
C.-1<a<1 D.0<a<
5.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)-g(x)的最大值为 (　　)
A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
6.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值为　　　　. 
7设函数f(x)=x3-3x+1，x∈[-2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=　　　　. 
8.已知函数f(x)=+ln x，求f(x)在上的最大值和最小值.
9.设f(x)=ln x，g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值.
(2)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立.

1.(5分)设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为 (　　)
A.(1+ln 3) B.ln 3
C.1+ln 3 D.ln 3-1
2函数f(x)=x3-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 (　　)
A.20　　　 B.18　　　 C.3　　 　 D.0

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