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内蒙古赤峰市2019届高三数学模拟考试试题文(含解析)

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内蒙古赤峰市2019届高三数学模拟考试试题 文（含解析）
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则中的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先求B,再求交集则元素个数可求
【详解】由题，则，则中的元素个数为3个
故选：C
【点睛】本题考查交集的运算，描述法，是基础题

2.已知是纯虚数，复数是实数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．
【详解】∵是实数，
∴设a，a是实数，
则z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai，
∴z＝2a﹣1﹣ai，
∵z为纯虚数，
∴2a﹣1＝0且﹣a≠0，
即a，
∴z＝2a﹣1﹣ai，
故选：D．
【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的有关概念，利用待定系数法是解决本题的关键．

3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出满足 “从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛” 这一条件的事件数，然后求出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果.
【详解】解：因为双方各有3匹马，
所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，
满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：
齐王派出上等马，则获胜事件数为3；
齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；
齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；
故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，
根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率，故选A.
【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型的计算公式求解问题，属于基础题.

4.若函数是定义在上的奇函数，在上是增函数，且，，则使得的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求解不等式的范围，当时，显然不成立，可等价转化为当时，求解的解集，当时，求解的解集，即当时，求解的解集，当时，求解的解集，再根据函数的性质求解不等式.
【详解】解：因为是R上的奇函数，且在上是增函数，
所以在上也是增函数，
又因为，
所以，
，当时，不等式的取值范围，
等价于的取值范围，
即求解的取值范围，
根据函数在上是增函数，解得，
，当时，不等式的取值范围，
等价于的取值范围，
即求解的取值范围，
根据函数在上是增函数，解得，
，当时，，不成立，
故的的取值范围是，故选C.
【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数的问题转化为函数的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.

5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧棱长为4，底面等腰直角三角形的腰长为4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三棱柱外接球的体积.
【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，

其中四边形、四边形均是边长为4的正方形，
三角形、三角形是，的等腰直角三角形，
设的外接圆圆心为，故即为的中点，
的外接圆圆心为，故即为的中点，
设球的球心为，
因为三棱柱的为直三棱柱，
所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，
连接，外接球的半径即为线段的长，
所以在中，
，
，
故，即球的半径为，
所以球的体积为，故选B.
【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.

6.我们可以用随机数法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）.若输出的结果为7840，则由此可估计的近似值为（ ）

A. 3.119 B. 3.124 C. 3.136 D. 3.151
【答案】C
【解析】
【分析】
程序功能是利用随机模拟实验的方法求取（0，1）上的x，y，计算x2+y2+＜1发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案．
【详解】x2+y2＜1发生的概率为，当输出结果为7840时，i＝10001，m＝7840，x2+y2＜1发生的概率为P，∴，即π＝3.136
故选：C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题和随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．

7.已知是等差数列，且，，则（ ）
A. -5 B. -11 C. -12 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由是等差数列，求得，则可求
【详解】∵是等差数列，设,∴故
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题

8.设定义在上的函数满足，且 ，则下列函数值为-1的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到函数的周期是4，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．
【详解】由得f（x-4）＝﹣f（x-2）＝f（x），
则函数的周期是4，
则
=
，
=-1
即函数值为-1的为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用代入法和转化法是解决本题的关键．

9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【详解】函数＝sin（2x）＝sin2（x），
故把函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和正弦公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换原则是关键，属于基础题．

10.已知为双曲线的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．
【详解】由双曲线的定义可得＝2a，又得
点P满足，可得＝4c2，
即有ca，
则离心率e
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运算能力，属于基础题．

11.已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，取AC的中点N，连接N和NB，则N∥AM,可得AM与B所成角为∠NB或其补角，在△NB中，利用余弦定理即可求解AM与B所成角的余弦值．
【详解】取AC的中点N，连接N和NB，则N∥AM,
所以AM与B所成角为∠NC1B或其补角，设所有棱长为2，则N=B=2,BN=，在△NB中，由余弦定理cos∠NB=
故选：A

【点睛】本题考查线线角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用

12.已知函数在区间上只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
原问题等价于xlnx﹣kx+1＝0在区间[]上有一个实根，即在区间[]上有一个实根．令，求出其值域，即可得实数k的取值范围．
【详解】原问题等价于xlnx﹣kx+1＝0在区间[]上有一个实根，
∴在区间[]上有一个实根．
令，0，可得x＝1，
当时，f′（x）＜0，此时函数f（x）递减，当∈（1，e]时，f′（x）＞0．此时函数f（x）递增，
∴f（x）≥f（1）＝1，且，1+e，又﹣1+e，
∴实数k的取值范围是k=1或
故选：D．
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．

二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.设的满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先将题中，满足约束条件对应的可行域画出，目标函数的几何意义为一条斜率为-2的直线，通过平移求解出最值.
【详解】解：如图，，满足约束条件对应的可行域为五边形内部（含边界），

目标函数的几何意义为一条斜率为-2、截距为的直线，
当直线经过点O时，直线的截距最小，最小，
故.
【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.

14.设向量的模分别为1,2，它们的夹角为，则向量与的夹角为____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量夹角公式cosθ，先求出的模以及与的数量积，再代入公式计算求解．
【详解】∵（）22﹣2•2＝12﹣2×1×2×cos60°+22＝3，
∴||，
（）•＝3，
∴cosθ，
∴θ＝
故答案为
【点睛】本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础，掌握基本的公式和技巧即可顺利求解

15.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线方程为与准线得出点坐标，再由可得，点为线段的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出的值.
【详解】解：抛物线的准线方程为
过点且斜率为的直线方程为，
联立方程组，
解得，交点坐标为，
设A点坐标为，
因为，
所以点为线段的中点，
所以，解得，
将代入抛物线方程，
即，
因为，
解得.
【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.

16.设数列满足，且，则数列的前项的和______．
【答案】
【解析】
【分析】
将平方得，进而得的通项，得,由 错位相减求即可
【详解】由题,∴=0，故，所以为等比数列，，则

两式作差得-
即
故答案为
【点睛】本题考查数列的递推关系求通项公式，错位相减求和，考查推理及计算能力，是中档题

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设的内角，，所对的边长分别是，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得结合余弦定理得，则B可求（2）由余弦定理得，进而得，则面积可求
【详解】（1）
又
，，
故
又，
.
（2）由余弦定理得：
，即
又
.
【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，熟记定理及面积公式是关键，是基础题

18.国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从15个发达地区，10个欠发达地区，5个贫困地区中选取6个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：
普查对象类别
顺利
不顺利
合计
企事业单位
40
10
50
个体经营户
90
60
150
合计
130
70
200

（1）写出选择6个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.
附：参考公式： ，其中
参考数据：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

【答案】(1) 分层抽样(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由分层抽样的定义与特点结合题意确定为分层抽样；(2)计算的值即可进行判断，再分析原因给出建议即可
【详解】（1）分层抽样
（2）由列联表中的数据可得的观测值

所以有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关
原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合；
2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定
建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受；
2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点.
【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验，的计算，考查计算能力，是基础题

19.如图，在四棱锥中，底面，，， ，点为棱的中点.

（1）证明：;
（2）若与底面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）连接, 且,证明是正方形得，再由证明平面，即可证明（2）由平面，得与底面所成的平面角为，由,得，得 ，利用求解距离即可
【详解】证明:（1）连接 ,BE,且,
,为棱的中点，
且
是正方形，
又平面，平面,
平面,,平面
又平面,
（2）因为平面，所以与底面所成的平面角为，
且,
∵,∴tan=得

设点到平面的距离为，由已知得，
，得，
所以，点到平面的距离为.
【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面角的应用，点面距离的考查，考查空间想象和推理能力，是中档题

20.顺次连接椭圆应该的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点直线交于两点，若对满足条件的任意直线，不等式 恒成立，求的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）列a,b,c的方程组求解即可（2）当直线垂直于轴时得，当直线不垂直于轴时，设直线 与椭圆联立，利用，代入韦达定理得即可求解
【详解】（1）由已知得： ，解得
所以，椭圆的方程为
（2）设

当直线垂直于轴时，且
此时，
当直线不垂直于轴时，设直线
由 ，得 ，

要使不等式恒成立，
只需，即的最小值为.
【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量坐标化运算及数量积，考查运算求解能力，是中档题

21.已知函数
（1）若，求函数的极值和单调区间；
（2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 极小值为3，无极大值(2)见解析
【解析】
【分析】
（1），判断符号变化，则极值和单调区间可求，（2）由时，，时 得
为函数的唯一极小值点，讨论当时和当时，的a的范围即可求解
【详解】（1）当时，
，且
时，时，
有极小值
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为
极小值为3，无极大值.
（2）

时，，时
为函数的唯一极小值点
又，当时

在区间上若存在，使，则 ，
解得
当时，在为单调减函数，
，不存在，使
综上所述，在区间上存在，使，此时
【点睛】本题考查导数与函数单调性，函数的最值，极值与单调区间的求解，分类讨论思想，考查推理能力，是中档题

22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 为参数），过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点.
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程.
【答案】(1) (2) （为参数， ）.
【解析】
【分析】
（1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的范围；

（2）设出对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示的参数，从而得出点的轨迹的参数方程.
【详解】解：（1） 曲线的直角坐标方程为,
当时，与交于两点，
当时，记，则的方程为，
与交于两点当且仅当，
解得或，
即或，
综上的取值范围是.
（2）的参数方程为（为参数，），
设对应的参数分别为，
则且满足，
由韦达定理可得：，
故 ,
又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程为 （为参数， ）.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角问题，常见解法是转化为求斜率的范围问题；还考查了点的轨迹问题，常见解法有相关点法、几何图形性质等方法.

23.已知函数，.
（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，且，求证：.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）不等式恒成立，等价于，然后求出函数的最小值，从而解决问题；

（2）要证，即证，然后借助于基本不等式证明即可.
【详解】解：（1）由，
，
，
，
所以的取值范围是
（2）由（1），
，
，
当且仅当时等号成立，

【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.

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