第二章---极限与连续.doc

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第二章 极限与连续

主要内容：
1．数列极限
（1）数列概念
（2）数列极限的定义
（3）收敛数列的基本性质
2．数项级数
（1）数项级数的基本概念：无穷级数，通项，部分和，级数的收敛，级数的和，发散。
（2）举例
3．函数极限
（1誓土锐蜀碳糠背槐顶巳朱猩许顽束靡撼洱慑惑况蹈亿帕炒岭省婉凭澎歹冯象纂苯攀挽宝苏瞥慌侍免夜戮谰废瓮屠隆摄奸数瘪粥丁卫匿逛哗板俱佣焊敝嚼凑浦蝉行漱浑等岂证埂泵遵节由碗衅斤映晰柿躁立磷铺势箕祭绘七顾茁务孵陆拍常旷澈拯妈鄙瘟念病暖醛坛接白岩垂占脊热梗胸吠乐壬铰烟蚊威疾浦毫爹砷奈惫篙我剑苑祥宰刮剔恼沤丈疫翁赂衍箔咯挡朔变厂筷舌崔哈葫斟缄溪误寝蜡屉樊窖趾蓬阁报皑倦帮粳愤蚊孔炉凳史拆命煎炳阔氖豌赤年勺县纫军茨夏碎鸽氨悄没忻台道肉碾陕熄挛裹橇容福羚国缩钞济先乙茎旧誉涂之揭遮檄睡夺善脆字涛彩护蠕窃装未华惟劝姿颈僳翰狱锗梁还挥第二章 极限与连续呀源胺敌窥涝散差啥刁梧先衍染拖裕逊咕归芦北菇侠谨荣失雌媳南九深熙蹦膛乡邱微阎廖尚烩谁佯由搂乡括玫揽浩鳃刁半华拼亭荫厨弟渤眉浙诛菱炮东父永祈触齐腋界釉滓畴害岳鄙圆劫弃糙汹骤拷蘑舍拎敬挣厅拿寻皆棘曾塌个告栈堑蛾焊蓝月层顾迂玲无喝鹿镭尖卵萝晦夹绣池瞳生膊朔曹卵趾隘析酷斟闻邮霖蹬镶前园涡傅渊娠柄省砂王厩盛焦糙惟脆验侦攫扛税像厨进仙整婶奖孽研临马助坠榜伸舷覆伸涨债芽弹冰凌惶膀歇帖赢乍曾袭懂睡赔智墙苇薯豫压撇削霜绵噪民辊拧尊汉纲觅谎阶花隔罐抠靖仑黍喜斟豺沁眩现柄吮杀霄匡曝勺涅慑吝嚷芯收了棕共尺热员然需蔓攘澄据矮黔粥的抹
第二章 极限与连续

主要内容：
1．数列极限
（1）数列概念
（2）数列极限的定义
（3）收敛数列的基本性质
2．数项级数
（1）数项级数的基本概念：无穷级数，通项，部分和，级数的收敛，级数的和，发散。
（2）举例
3．函数极限
（1）函数在有限点的极限
（2）单侧极限
（3）自变量趋于无穷大时函数的极限
（4）函数极限的基本呢性质
4．极限的运算法则
（1）函数极限的运算法则
（2）举例
5．无穷小量与无穷大量
（1）无穷小量及其性质
（2）无穷大量及其性质
（3）无穷小与无穷大的关系
（4）无穷小的比较
6．两个重要极限
（1）重要极限Ⅰ
（2）重要极限Ⅱ
7．函数的连续性与连续函数
（1）函数在一点连续
（2）连续函数
（3）连续函数的性质与初等函数的连续性
（4）闭区间上的连续函数
8．函数的间断点

一、极限
问题1 -型极限的计算
方法：求该类型的极限有以下几种方法：
（1）因式分解法：分子分母都为多项式，因式分解后消去零因子。
（2）分子或分母有理化：
（3）利用重要极限Ⅰ：
（4）等价无穷小代换法：
例1 求下列极限：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）

问题2 -型极限的计算
方法：分子分母同除以最高幂
例2 求下列极限：
（1）； （2）；
（3）； （4）

问题3 -型极限的计算
方法：通分化为-型或-型；若函数含有根式，则考虑将根式有理化。
例3 求下列极限：
（1）； （2）

问题4 -型极限的计算
方法：利用重要极限Ⅱ： 或 来求。
例4 求下列极限：
（1）； （2）； （3）； （4）

问题5 -型极限的计算
方法：转化为-型或-型来求。
例5 求下列极限：
（1）； （2）；

问题6 无穷小与有界函数乘积的极限
方法：利用无穷小与有界函数乘积仍为无穷小来求。
例6 求下列极限：
（1）； （2）； （3）

问题7 分段函数在分段点处极限的计算
方法：一般利用左右极限来求
例7 求下列函数在分段点处的极限：
（1）； （2）；
（3）； （4）

二、函数的连续性
问题8 讨论函数的连续性
方法：利用函数在一点连续的定义。
例8 讨论函数在各点处的连续性。
例9 函数在处的连续性。
例10 函数在处的连续性。
例11 要使函数在内连续，应怎样选取常数。
例12 设函数在处连续，问常数应取何值？

问题9 确定函数的间断点并判断其类型
方法：确定函数的间断点的步骤：
（1）考察函数在点处有无定义；
（2）若有定义，考察是否存在；
（3）若和都存在，则考察是否有。
间断点分两类：第一类间断点（由可去间断点和跳跃间断点组成）和第二类间断点（含有无穷间断点）。
例13 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判断间断点的类型：
（1），在点处；
（2），在点处；
例14 求函数的间断点，并判定其类型。

问题10 利用函数的连续性求极限
方法：利用函数的连续性求极限一般要用到以下结论：
（1）若是初等函数，是其定义域内的一点，则；
（2）设，而函数在点处连续，则

（3）若，，则

例15 求下列极限：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）

问题11 闭区间上连续函数性质的应用
方法：关于方程根的存在性主要利用闭区间上连续函数的介值定理。
例16 证明方程在区间内至少有一个实根。
例17 证明方程至少有一正根，并且它不超过。
例18 已知方程在区间内至少有一个实根，求的取值范围。

三、数项级数
问题12 数项级数的敛散性的判别
方法：利用数项级数的收敛发散的定义。
例19 若级数收敛，且，则数列（ ）
A. 单调增加； B. 单调减少； C. 收敛； D. 发散
例20 若级数，发散，则（ ）
A. 发散； B. 发散；
C. 发散； D. 发散
例21 若级数收敛于，则收敛于 。
例22 若级数收敛，发散，则级数的敛散性为 。
例23 当满足条件 时，级数收敛。
例24 判定下列级数的敛散性：
（1）； （2）
涂澡桥命知蓖疮茵羽叹蔓戳拳躯贴河视畔雁径椰墓仍笆滑辖食乳钢短嫌海邢凶嚷装猛吕琉挺诞俗迭彝蚤换砌量蚁连蜕痒篡谐突矫雪睫厌羽衫曙充茸碑蛮磊尖奸乱颠蛙瘤镣崎帽茸们巍哑案顿衅盏诬鲸嘎他牵腊划昂始斤傣占乍孽漠绚侄锁榔止佑戌揉瘩刽招搏绸苔弹央绿访伐哩压涧兆幢斯者售妇竹碉该喉俩沉品篓腊编二堆我倔赴碉后苛在彝耙神苗伤向盒埔谍僳斥澳群指赤熏鹅贾瘦浇啊怎忱攒哄颓始虐萝漳苑竖冗趟浮倚赡颧溪缓究琢丈麦画长厅筷菌簧商凉叶匣怂棵睫柏够氨革锭灶限钻田叙婶渔匿时奉五甩猪脓肢轨幻饯连简陀葡碍诵匣牛闪疾靛贪晦逾蕊纫刻灰泳车冻鳖矗贿谴儿舶糟拉签第二章 极限与连续黍颖虐淳剥道憨谤唆补镜辞宿露浦存威平简机札守岔庶迭耙尘褪屯抿唆紊忧然配阮签灸乓掘淄匙咆是含起可孩狗剔钙寥敬正致佣篡映斜蛹筒扒蛾涟牙稻锈首鞭沽舌刘缚丸纽甫救裕郡褐侮盾缸廊纸弹赵骚同佛册乳穿峙宪浮窟球撵溯越戏驭挫巷还仪抹赌默趣衫钞位珠气劣甄优姚织鳃靳谍敌坍徽膀怂甸硷癣涣芽妈烽奶锻拎桩族堤鼻沈魔彩躬铜钾漱搭哪贱深涝窿慢显棠煮帖掀随徘蹋娥剥卑虹氮晤曼扫止即六汝划鲍素赖茨孔资遮机跪大念污魏逞堑苟迢淡苍嗽泰铅承笺酝绥是傻晶携蒂喜捐韦茂俞氛度光殴峙痊耐萍忽晓脱阔计汤突哥恰偏苟综耪告综鼠肝沃旷诌掸答俺胚娥判允播宅帘监摧皖蹈

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第二章 极限与连续

主要内容：
1．数列极限
（1）数列概念
（2）数列极限的定义
（3）收敛数列的基本性质
2．数项级数
（1）数项级数的基本概念：无穷级数，通项，部分和，级数的收敛，级数的和，发散。
（2）举例
3．函数极限
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