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高中数学线性规划各类习题精选

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线性规划
基础知识：
一、知识梳理
1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二：积储知识：
一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0
2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<0
3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0
注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,
即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>0
2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0
二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不包括边界;
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.
三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

例题：
0
A
B
C
（图1）
1. 如图1所示，已知中的三顶点，点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是或，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得和？
2. 如图1所示，已知中的三顶点，
点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：
①在 处有最大值 ，在 处有最小值 ；
②在 处有最大值 ，在 处有最小值
3. 若、满足条件求的最大值和最小值
4. 设实数满足，则的最大值是__________．
5. 已知，．求的最大、最小值
6. 已知求的最小值
7. 给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (a > 0 )取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（ ）
A. B. C.4 D.
8.已知变量满足约束条件，则的最大值为( )

9.设变量满足，则的最大值为
A．20 B．35 C．45 D．55
10.若满足约束条件，则的最小值为 。
11.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ．
12.某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
13.若满足约束条件：；则的取值范围为.
14．设满足约束条件：；则的取值范围为 .
15.设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A. B.4 C. D.2
16. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
A B C D
17.若实数x、y满足则的取值范围是 （ ）
A.(0,1) B. C.(1,+) D.
18.已知正数满足：则的取值范围是 ．
19.设平面点集，则所表示的平面图形的面积为
A B C D
20.在平面直角坐标系，已知平面区域
且，则平面区域的面积为 （ ）
A． B． C． D．
21.若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 .
22.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
（A） （B） （C） （D） 高

23.若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于__________.
24.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为
A. －5 B. 1 C. 2 D. 3
25.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2

26.设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）
A．[1，3] B．[2，] C．[2，9] D．[，9]

27.设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是
A (1，3] B [2，3] C (1，2] D [ 3， ]
28.设为实数，若{}，则的取值范围是___________.
29.若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（ ）
A B C 1 D 2
30.若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （ ）
A．（，2） B．（，2） C． D．
31.设m>1，在约束条件目标函数z=x+my的最大值小于2，
则m的取值范围为
A． B． C．（1，3） D．
32.设x，y满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
33.设满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为________.

1. 略
2. ①点A,6,边界BC,1
②点C,1,点B，-3
3.2
4.
5. 最大、最小值分别是50和
6.
7.B
8.B
9.D
10.-1
11.2
12.C
13.
14. [－3，3]
15.B
16.D
17.C
18.
19.D
20.B
21.
22.A
23.1
24.D
25.B
26.C
27.A
28.
29.C
30.B
31.A
32.A
33.4

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