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高中数学一题多解

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浅谈一道数学例题的“一题多解”
通山一中 万小勇
在人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书高一数学上册130页中例4的学习时，笔者认为可以引导学生深入分析挖掘，用好等差数列前n项和公式及其性质，得到其他的解法，从而起到“一题多解”的目的。
例4：已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以确定其前n项和的公式吗？
分析一：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到关于1与d的关系，然后确定1与d，从而得到所求前n项和公式.
解法一：由题意知 S10=30， S20=1220
将它们代入公式 Sn=n1+得到
101+45d=310
解这个关于1与d的方程组，得到1=4, d=6
201+190d=1220
所以Sn=4n+
分析二：∵{n}为等差数列，∴Sn=
将条件代入可求得d与1.
解法二： ①
②
②－①×2 得20－10=600
由得d=6
又由Sn=n1+得
S10=101+45×6=310
∴1=4
∴Sn=4n+
分析三：因为{n}为等差数列，所以可设Sn=An2+Bn，求出A，B即可.
解法三：设Sn=An2+Bn，将它们代入可得
100A+10B=310
得到 A=3，B=1
400A+20B=1220
∴Sn=3n2+n
分析四：运用等差数列前n项和公式，Sn=n1+的变形式解题.
解法四：由Sn=n1+,
即
由此可知数列也成等差数列.
∵
∴
∴
=30n+1
∴S10n=300n2+10n
∴Sn=3n2+n
分析五：根据性质“已知{n}成等差数列，则Sn, S2n－Sn, S3n－S2n,…Skn－S(k－1)n,…(k≥2)成等差数列”解题.
解法五：根据上述性质，知S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，设公差为d，
故d=(S20－S10)－S10=(1220－310)－310=600
∴S10n－S10(n－1)=600
∴S10n=S10+(S20－S10)+(S30－S20)+…+(S10n－S10(n－1))
=310+(310+600)+310+600×2+…+[310+600()]
=310n+600·[1+2+3+…+()]=310n+600·
=300n2+10n
∴Sn=3n2+n
教材给出了第一种解法，目的是让学生熟悉公式的用法，这是一种常规解法。解法二是等差数列前n项和的应用，在本公式中只要知道了n, ,就可求，除此之外，若知道两个有关的和，我们还可以去求解公差d与首项1，进而去求其他的量。解法三是等差数列前n项和Sn的变式，即凡是能够写成Sn=An2+Bn，则{an}必为等差数列通过求解变量A、B得到Sn，方便快捷。解法四利用了等差数列前n项和Sn的性质，必是等差数列，于是先去求解，再反求，利用该种解法时，一定要注意结构的构造，否则易出错。解法五，在应用时要注意间隔要相等，否则不成。笔者认为在学习了课本的常规方法后，不妨针对等差数列前n项和的公式及性质进行仔细分析、挖掘，引导学生提出余下的几种解法，开拓学生思维，发挥学生的积极主动性，学好等差数列前n项和的公式及性质。一题多解启发学生解决问题时可以多多思考，用好已有的性质公式，甚至提出新的思想，从而放飞思绪。让学生明白，问题可能有一个，但解决该问题的思想方法并非唯一，以上个人看法仅供参考。

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