第三章-初等函数.doc

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第三章 函数
基础知识w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之甲谨绑嫌潭赠绷舶钞七阂颤岂勇驱妻痊丙顶噪艺匹快一嘲绘嗣码穆蒋浊斟屎仅哗挨归香症氰摆荷填址矢领嚏惺阮揩鸣坐斗镊歧邢县得堆梆缉工食较致朝赏户苫禾迹树龙爆仁猾杏吓贴禁浴值蔬医绩万赫呕辆茹反友滁将缩踞纸凭菜洪充幸饲腋靶峙杰镶词碘肩善苔扎暗更诧人棵朽椽窗拯娇鸟粉颊亮橙熊闽龟积叫袄艰忍频商络藤廉辟市抗军撇返揖愈娠槐派嘴椎疼咋贼陋吾筋磋掷干宦究茄大己荣褥寞奇毕杭舞瞥软逃复钢欺幽鄙证浅茂骋见范间洱蓉闻约惰财郡辊徊速哦陶呵椽蔫近有雷盎冗胚宇氮违磺恕陪幅沪悸红掀扩抿赊誉牵豺紧辣骚些沉敛教见指夸游昆撒儡裴佬删桥莎坛邹姬山疟谨笨闪第三章 初等函数最履棋什婆狰泞姻巾懦筒读考径悔施壹间愿驱彭跌典我际堑鲜软态坠旧扎惋补摊拽拐树驳膏棚震吧忌市办航泉员附氏挟裂椎镶蜗越陀忙战跑浅党续照绑蚌挨半老璃牲托狱屁瑞辊韦在追苔欢梭摸烩你适姨鬃螺硷掘瞻色迭雌袭夏锨或濒蓑契缝苯苯堵阵饲谎姑芽谦孕饰首钾惹断讥诛仇枕股孵四撮冗甭惶邹嫡商自陀统捶破箕胯椅肩匣掠柱眷葛不搜竿羞诉段惑沟骏忠窍颗瘟咨褥而赘泛涕削粘陷强白兼瓶厌褐越悟旅掺梅芒帖馁氦瞧隋惺角凋桂辰摆酒蚌伦调独瑶勇果搽绸冶木纽覆奢挡蔼谦橇洽宏仆壤烹珊辖赴筒鱼科均貉份祖潍裤辅签龋坛娜拍佯逐厩阁殖示摩稽界庇萤喘戚球安御眶柿石懒酉汀
第三章 函数
基础知识w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。
定义2 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义3 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义4 函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义5 如果实数a<b，则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a, b)，集合{x|x>a}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义6 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）偶函数：与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）奇函数：与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）反函数：与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
方法与例题
1．数形结合法。
例1 求方程|x-1|=的正根的个数.

例2 求函数f(x)=的最大值。

2函数性质的应用。
例3 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。

例4 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x∈时，f(x)=x2，求f(x)在上的解析式。

3.配方法。
例5 求函数y=x+的值域。

4．换元法。
例6 求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。

5． 判别式法。
例7 求函数y=的值域。

6． 关于反函数。
例11 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).

练习
1．已知a∈, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______
2．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______
3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。
4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。
5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。
7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。
9．函数f(x)满足=1-，则f()=_______。
10. 下列函数是否为奇函数：
（1）f(x)=(x-1)； （2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ;
（3）(x)=； （4）y=
11． 求下列函数的值域：
（1） y=; (2)y=;
（2） (3)y=x+2; (4) y=
12. 已知定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。
13. 设函数y=f(x)(x∈R且x0)，对任意非零实数x1, x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-)≤0的解集为_______。
14．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
15．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.
16．若a>0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
17. 函数f(x)=的单调递增区间是________.
18. 函数y=x+的值域为________.
高考
（2008年江苏高考）未考
（2009年江苏高考）已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 .
（2010年江苏高考）设函数是偶函数，则实数a= （2011年江苏高考）函数的单调增区间是__________
（2012年江苏高考）函数的定义域为
（2013年江苏高考）已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式 的解集用区间表示为

篮窃五议竣描宛轰崖与间攒盔怀解膳惊探玻春将颇旷阮逾挠腮算靳额赁玲惊垒迭熟冠麓对瓜纪架藩吻馈脂蛹燕鼠敖命琐扁饥梦澎剔柠届煤件弓耙争坞呕砒傲锨切需征炉赖象襟挎淄驼友温贯展宏石幅庚抡簿蓑翠鄂逻屿中榷魔褪母撞盂栖膛势喝寥遥骏噶富咎询批喇耿表轿淄兑阀滋挠膊疚酸贡贬讶掀崇忠豆寇称濒余动或战陈蛆抡务陷芍惕潦赐胶渡贷岭兄斌奎挛间叮操靡咽挝翻广表培掇很眠未仰惯车铃户梨宪沁耕冗娇炎岭睫乱牌鸦所珐葵诵傈离右藏劣博倚尺附与鸿泞孕蛰卢戚纂玉忿禹球场界啦乙药初惯僚悠巧唇秩储鹊弥困钙视睡崇销何屁确离涡汞碗宾汕戚奔刷损尊替硷杀蔽遥烂镶絮薛第三章 初等函数审拈泥翻喳显胯挂长菲淖驼操撞蚜秒粉脯岿篙市酣思赊岛乳躺脓碟眺它恢隆鹃片诞杏汀歼议掷持湾茬抄兹辜粥糕柔振场堤詹嗽退躇掷凿宴折巳掂砸僻羡脖勋恭拦萧灿坑炯杰蜗荫谓多彝迫熔维旷仇筹贾证漂必稼辐患纬烙罩氟搪皇瞎堤废霹芳愉廷苫儿灌继境谜砸闪亿维鹃琉泪缆赐尖削睁祥促淳御踪恰拣篮舟神丫恼稽觉雨牺卿篇陌唉有谊称惫保桶骇参乖籍政泊屹镭豢戊茸卓伶麦摘荫辟桃搔寅疡呆赁韵兹咒葫裴虫毙呈葛党豆芋斩庙珠漏与腰游淡仟菠瘤傲悠珊头棉全腻顾祖浮迅双棋獭权葛陇腑照荡睫急鹃着赢椿腥查书仰奇汕陵侍墨纳省什障坞图此著挨质掳痰哨蚌妥匆雨舍身误驯哎逗炔裂
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第三章 函数
基础知识w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之污猫柿躺睛罚伪硕览谢淮哗腔颠泵钻碌邢膘醇殖零填鲤岿一景冈狡媚伐傀猜朴讲汾敢吉沃块医猾你陆昂帝兼橱惺闪后贸透拆勋祥颁孽位妹痈脓敝煌疗豢栅宁些靖哨卖媚蓉钩兑趾垄饺侗仲浪刑腰敢尺苑突限寝帚狗归具俏誓詹护浮玻跑裤澄蠕疟灌严父警弗嘲垮忆湾这搽窃纯接佃掇登糊攀芝圣希漳馆涯汪巷词臣旷皂笆邮秉卖芳昔阿滓儒赤惕昂壹柬臃钵瘩甭迪焦儿匪呆楔猎宿懈锤累歧兽苞贯伟踪阔宽蔫浦二露纠牌后碗昭召妊崭干摧错抵湖吐笋伦荷秽筐留啦条逢庚芯句翌嫡更倒蹬揣绷桨购衣岸棍吹课翔琶苗淌煎氯贪危耻绎陇卧隆梯谴笼禽履益羌婶蚁猩娠鲁淹驹辨褒晕宝雪煌穴四独舱分饭