不定积分的基本公式和运算法则直接积分法word版本.doc

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·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。
·引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
·讲授新课
第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法
一 基本积分公式
由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

导数公式
微分公式
积分公式
1

(0)
2

3

4

5

()
6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1.求下列不定积分.（1） （2）
解：（1）＝
（2）＝
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即

法则1对于有限多个函数的和也成立的．
法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即
（）
例2 求
解 =2+-
=。
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于=，所以结果是正确的。
三 直接积分法
在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。
例3 求下列不定积分.
（1） （2）
解：（1）首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分得

。
注：（1）求函数的不定积分时积分常数不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。
（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数即可。
（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。
（2）
。
上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。
练习 1 ，2 ，3 。
答案 1 ， 2 ，
3
例4 求下列不定积分.（1） （2）
解：（1）

（2）
上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。
练习 1 2 3
答案 1 2
3
例5 设，求.
解：由于，
所以，故知是的原函数，因此
．
小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。
练习 求下列不定积分.
（1）（2），
（3），（4），（5），
（6），（7），（8），
（9），（10），（11）。
答案1 ， 2 ，
3 ， 4 ，
5 ， 6 ，
7 ， 8 ，
9 ， 10 ，11。
小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．
作业 P81:2,3
板书设计
一 基本公式
例1
二 不定积分的法则
例2
三 直接积分法
例3
例4
例5
练习
小结
作业

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