高中数学必修2立体几何训练题.pdf

立体几何训练题姓名：班级：考号：命题人：数学培优网评卷人 得分 一、选择题1、已知直线2洞逮，且孙起仁平面贝卜_La”是“_L制且_L%”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 c.充要条件 D.既不充分也不必要条件2、设名户是两个不同的平面，？是一条直线，以下命题正确的是()A.若,工。，)1月，则0B,若户，贝/u户 C.若则U尸D.若贝/，产评卷人 得分 二、综合题6、如图，四棱锥S-43s中，底面上58为矩形，D_L底面兑38,AD=yJi DC=SD=2,悬 m 在侧棱SC 上，ZABM=60(I)证明：M在侧棱SC的中点(ID求二面角S-幺一E的大小。数学培优网熊老师编辑整理17、如图，已知直三棱柱SBC 44G中，A43C是等腰直角三角形，ABAC=90,力8=明的、E、F分别是反上、eg、的中点.现设44=勿.(1)求证：DE H平面/C；(2)求证：用百工平面工砂;(3)求二面角妫一工总一月的正切值.9、如图，在三棱锥尸一3C中，R4_L底面上8C,产金=幺瓦乙4BC=6CT,/8C4=9.,K 点、D,E分别在棱处，尸C上，旦DE HBC(I)求证：平面 R4C；X_76(ii)当D为P5的中点时，求心与平面尸47 所成的角的余弦值.数学培优网熊老师编辑整理2s10、四棱锥s-4bcz)中，底面nas为矩形，平面sqc_l底面nac o,AD=y/2,DC=SD=2,SC=2J 5,点M是侧棱SC 的中点.(I)求证：MJ平面MS；(II)求二面角C-IM-B的大小.2(IID在线段EC求一点从，使点曾到平面上励的距离为5.11、如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA_L底面ABCD,PA=AB=J，点E是棱PB的中点。(1)求直线AD与平面PBC的距离。(2)若AD=Q,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。如图，在正三棱柱ABCABG中，点D是棱AB的中点，BC=L AA尸(1)求证：BG平面AQC；数学培优网熊老师编辑整理3(2)求二面角DA,CA的大小评卷人 得分 三、计算题15、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ZABC=60,PA=AC=a,PB=PD=点 E,F 分别在 PD,BC,且 PE：ED=BF：F C(1)求证：PA_L平面 ABCD；(2)求证:EF平面PAB。参考答案一、选择题2、C二、综合题数学培优网熊老师编辑整理46、（I）解法一：作涮SZ）交CQ于N,作奥工期交工8于E,连 ME、NB,则加W_L面第8,ME A-AB,NE=AD=42设必7=x,则RC=H=x,在 RT8ME B 中，：BE=60。：.ME=.在R7AM国中由颇2=NE +MN2:.3x2=x2+2MN=-SD解得x=l,从而 2：.M为侧棱SC的中点扎解法二:过舷作CO的平行线.解法三:利用向量处理.详细可见09年高考参考答案.（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基 本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过M作M CZ）交于J,作第AJ交于N,作郎_1_工般交于K,则/CD_L面&4。，面&4E_L面M8Z,SH _L面Z.SKH即为所求二面角的补角.分析二：利用二面角的定义。在等边三角形3M中过点3作射交回于点F,则点?为AM的中点，取SA的中点G,连GF,易证则NGF B即为所求二面角.分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。数学培优网熊老师编辑整理5总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状 况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。7、解法1：(1)取AB的中点H,连结DHDH d-印DH IfCE.2 2:.四边形CHDE为平行四边形.DE HCH.CH u 平面Z 平面HBC,：./平面ASC(2)在等腰劭MBC中,47二工反乙MC=90，尸为8c中点“AF CB.又：直三棱柱ABC-ABG中，平面ABC_L平面CBBC,且平面ABC n平面CBB.CfCB,.AF J _ 平面 CBB,C1,又BXF c平面C3BiG，工尸-L数学培优网熊老师编辑整理6由题设，CE=a,则CR=岳,囚8=4,8涓-2a,C31=2及aA BXE2=C/2+BC；=+8以2=9&2,E F2=CE2+CF2=a3+2a2=3a2s51F2=BF*+B=2a2 4-4a2=6a2,-.BE=E F2+犷.二 ABFE=90。二 BXF LE F.又/E FQAF=Fr:.BF _L平面 AEF.(3)在平面BiEA内，作4K 工,垂足为K,连结K F.则K F _L AE.Z-ByKF为二面角BiaeF的平面角.AF=-BC=42 a,E F=怎.在 RtZXAF E 中，2AE=jCE2 AC2=yla2+4a=岛,E F-AF 栏a 短a 展:.Kr=-=-=-=aAE 岛tanN及K F=苦=石.,.在 RtZXBF K 中，、/5即二面角Bt-AE-F的平面角的正切值为石.数学培优网熊老师编辑整理7解法2：如图建立空间直角坐标系工一小，则收0,0,0)/(2即0,0)(0,2凡0),4(0,0,2a),%(2凡00),。(0,2%2口)(1)取的中点H,连结CH.W=(0,2a,a),Z)(a,0,a),H(a,0,0),CH=(a-2a,0),D=(a,-2a,0),:.CH DE.；CH u 平面 ABC,而工次仁平面/C,DE II 平面 ABC.(2)V 5(2,0,0),C(0,2a,0).F(a,a,0),数学培优网熊老师编辑整理8:BXF=(-a,a,-2 a),E F=(a,-a-a),AF=(a,a,O),.0 3$=(-a,a-2 a)f E F=(a-a-aAF=(4,a,0),B).E F (a).a+a.a)+(2。),(a)-0,.AF=(-a)以+a a+(-2a)0=0,；.BF _LEF,BiF l AF.VEF nAF=F.,.BF J平面 AEF.(3)设平面ABE的一个法向量为溶=(3乂z)ABX=(2a,0,2a),金=(0,2 a,a),tn ABx=2 ax+2 az=0,fn-AE=2 ay+az=0 x-z.1 1y-z m=(-a-a,a)2 令z=a,贝i j 2.由于平面AEF的一个法向量为用尸=(一见a,-2a),故设用尸与勿所成角为0.n e*a2 2 a2 1M.丝士一=2、.7 囱尸卜取.叵a a 数学培优网熊老师编辑整理9由于平面AB,E与平面AEF所成的二面角为锐二面角.1二面角Bi-AE-F的平面角的余弦值为忑.一面角B.-AE-F的正切值为石.9、（I）：PA_L底面 ABC,BCU 面 ABC APAIBC.又NBCR=90，ac_lbc.：PA与AC相交.，.BC_L平面PAC.5分DE=-BC（II）为 PB 的中点，DEBC,2,又由（I）知，BC_L平面PAC,.DE_L平面PAC,垂足为点E.NDAE是AD与平面PAC所成的角，8分.PAJ _底面 ABC,APAIAB,又 PA=AB,AD=AB.ABP为等腰直角三角形，J 0,.BC=-AB在 Rt/XABC 中，Zz45C=60,2在 RtZXADE 中,DE BC y2sin-=-=AD 2 AD 4,数学培优网熊老师编辑整理10巫4?与平面R4c所成的角的余弦值为.4 14分【解法2如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系工一并，设凡4=以，由已知可得I 乙 乙,、乙 J=(O,O,a),5C=|l a,O,O(I),/,BC AP=O,.bcap.又.NBCA=90,BC _L AC,，BC _L 平面 PAC.(II)T D为PB的中点,DEBC,，E为PC的中点,/1 出 1)牛铲铲J4 2又由(I)知,BC_L平面PAC,DE_L平面PAC,垂足为点E.ZDAE是AD与平面PAC所成的角，AD1 73 1|a.a,a4 4 2)，福卜孚f数学培优网熊老师编辑整理11c o sND4=AD AE _714画.同-4.Q与平面取C所成的余弦值为.410、解：解：（I）令l-a 0=n”0,即，（x）的定义域为（只8）.（4分）（2）若口1,则x在区间（I，*。）上恒成立,所以，x2-ax+30 axx2 4-3,（9分）覆 /+3因为l X+8,即 X 在区间（1，*）上恒成立，（10分）x+3=x+之 N 2 出 x=2=x=召因为 X X，当且仅当 X 时取得等号，（11分）所以以的取值范围是（一28）.（12分）11、解（1）如图（1）,在矩形ABCD中，ADBC,从而AD平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离（2分）。因为PA_LAB,由PA=AB知PAB为等腰直角三角形，又 点E是棱PB的中点，故AE_LPB,又在矩形ABCD中，BC_LAB,而AB是PB在底面ABCD内和射影，由三垂线定理得BC_LPB,从而BC_LPAB（4分）。故BC_LAE,从而AEd_平面PBC,故AE的长即为 数学培优网熊老师编辑整理12直线AD与平面PBC的距离，在RtAPAB中，PA=AB=J,所以AE=-PB=-ylP+AB2=y/3 2 2。.6(2)过点D作DF _LCE,交CE于F,过点F作F GLCE,交AC于G,则NDF G为所求的二面角的平面角。.8由(1)知BCJ _平面PAB,又AD_L平面PAB,又ADBC,得AD_L平面PAB,故AD_LAE,从而 de=Le+M。在RtACBE中，.由CD=J J,知A CDE为等边三角形，故F为CE的中.n 3应DF=CD si n=-点，且 3 2FG/1-AE,尸 0=追因为AE_L平面PBC,故AE_LCE。又F G_LCE,知=2 从而 2，且G点为AC的中点,连接DG,则在用AADC中，DG=-AC=-ylAD2+CD2 2 2 2.io DF2+FG2-DG2 乖c o s NDF G=-=-2.所以 2-DF-FG 3啦所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值为3。.12数学培优网熊老师编辑整理13解法2：（1）如图（2）,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为X轴、轴、Z轴正半轴，建立空间直角坐标系A-平。2怂=(9,O,),BC=(O,a,O)钎一系 r因此 2 2,FC-36,a,76,则AE BC=BC=0,AE PC=0，所以 aej_平面 pbc。4又由ADBC加AD平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为画3.6（2）因为|西=J 5,则以0,小,0）,c（称,返O）.设平面AEC的法向量公,（再则AC=0,公=0反 法 卜日xI+厉i=元=（倔同），冠=（字畔），故十 戈2 2 匚讨+匚丫二。又 2 2数学培优网熊老师编辑整理14所以1=一=-五,可取X=-0,则均=（一,2,虎）.8设平面DEC的法向量巧=（叼乃），则勺,DC=0,2-DE=0.2=0,又比=（#,0,0）,丽=（坐当，故修与-鬲+冬产0所以与=0/2=0为，可取乃=1,则%2=12）.0,COS（勺，笈 2）=O-=故|1112|3.12近所以三角形A-EC-D的平面角的余弦值为3。12、（I）证明：连结AG交A于点G,连结DG,在正三棱柱ABCABG中，四边形ACCA是平行四边形，：,AC=GCltv AD=DB,：.DG/BC.2 分：DG c 平面ADC,3c l 年平面4DC,数学培优网熊老师编辑整理15 BCJ/平面&DC.4分(H)解法一：过点D作交AC于E,过点D作,尸,4,交AC于F,连结EF。v平面兑BC，面平ZCCiA，%U平面SBC,平面RSCc平面/CC4=ACf：.DE ACC.：.班是以在平面q c c 14内的射影.匹 1.4。，:.乙口FE是二面角D-ACA的平面角，.8分八处军=西在直角三角形ADC中，AC 4数学培优网熊老师编辑整理16屈,de 2用次-7T J -si n DFE=同理可求：4c 8 DF 13ADFE e(0,-).：,：.4)FE=arc si n 名竺.2 13.12 分解法二：过点A作工0 交BC于0,过点。作。下_LBC交BC于E。因为平面平面C班】g所以兑0,平面分别以CB、0E、0A所在的直线为触通逐轴建立空间直角 坐标系，如图所示，因为BC=L44=有，工3c是等边三角形，所以。为BC的中点，则o（o,o,o）,ao,o,）,c（-1 o,o）,4（o,5,A,z）（l o,A2 2A 2 4 4吟分设平面A.DC的法向量为=（X,Z）,数学培优网熊老师编辑整理17则CD=O,.4C=o.包哼。吊不=43-取彳=后,得平面4少洲一个法向量为凶=（1-3）.8分可求平面ACA,的一个法向量为公=（相，一1）10分6,则 c o s 6=c o s=-=设二面角D-ACA的大小为 33x2 13.口 3屈6w(0-=c o s.12分13、解：（I）分成两类：（1）把3排在个位，其他数字全排列，跖=&；（2分）（2）把3排在十、百或千位，把1或5排在个位，其他为3的全排列，%=6埠.（4分）所以，二川+d4国=60（6分）数学培优网熊老师编辑整理18(II)排除法：能够组成大于21345的正整数有&=啰-(父+1)=95 个或直接法：+依+&见+1=95个三、计算题14、(1)解：设(x,y),在例3中，|四|=2,MB=2 6a|j4M|2+|W|2-2|W|/|cos2=4即Q店|+|改了 一2|幽|.|加|(l+c o s2$=4 nl3|+|的|=4因此点的轨迹是以力、3为焦点的椭圆，a=2,c=1曲线。的方程为(12 分)。(12分)(2)解法一：设直线图方程为丫=缈+1(WWR)(34+4讲+6可-9=0数学培优网熊老师编辑整理19S=_x 2x|y.-y 1=1 v-y.I显然，方程的A口,设尸(为，M),0(x2,，则有 26m 9%+九=一一八，=一？.3m?+4 3后+4迎一%=01+力丫-4小=48Xm+守令t=*2+3,贝|J123,y$48(71-/2)=由于函数 +f在3,+8）上是增函数，.+下故6-%yW9,即 SW3.40的最大值为3S=x2x|-y|=|j-y 解法二：设尸由，y）,0（如，贝i j 2 当直线网的斜率不存在时，易知S=3设直线网方程为7=网工-1）后白由卜=网1）得：（3+4*川-胱+4/-12=0 8好 4公-12X.+X.=-=-g=-?-显然，方程的（）,贝U 3+4M 3+4数学培优网熊老师编辑整理20+1忖一%I=%r2y=水4+/r444=i2x(%一%y=1天 一 d-姑-1)2=乎(应-修 y=144 x+j)2 3=90-4k2+3-(4*+3)JJ fc2+3=1(0 J 1)/(t)=9-9(2f+3t2)=-27(t+b2-1 9令，3,则 3 9,即s34尸0的最大值为315、证明：(1).底面 ABCD 是菱形，ZABC=60,.*.AB=AD=AC=a.在4PAB 中，,.,PA2+AB2=2a2=PB2,.-.PAAB,同时 PA_LAD,又 AbC AD=A,.PA_L 平面 ABCD(2)作EGPA交AD于G,连接GF.数学培优网熊老师编辑整理21AG _ PE _ BF则丽一丽一定.,.GF/AB.又 PaPIaBmA,egA gf=g,.平面EF G平面PAB,又EF U平面EF G,J EF平面 PAB.四、填空题16、256数学培优网熊老师编辑整理22