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高中数学必做100题精品文档必修1P(1)1.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数的函数值的集合； （2）与的图象的交点集合.参考答案：（1） （3分），（5分）故所求集合为.（6分）（2）联立，（8分）解得，（10分）故所求集合为.（12分）2.已知集合，求、. 参考答案：，（3分），（6分），（9分）.（12分）3.设全集，. （1）求，；参考答案：，（1分），（2分），（3分）.（4分）（2）求， ， ，；解：，（5分），（6分），（7分）. （8分）（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.解：，（9分）. （10分）Venn图略. （12分）4.设集合，. （1）求，；（2）若，求实数a的值；（3）若，则的真子集共有_个, 集合P满足条件，写出所有可能的集合P.参考答案：(1)当时，故，；（2分）当时，故，；（4分）当且时，故，. （6分）(2)：由（1）知，若，则或4. （8分）(3)若，则，故，此时的真子集有7个. （10分）又，满足条件的所有集合有、. （12分）5.已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示） （2）求证在上递减.参考答案：（1）要使函数有意义，则，解得. （2分）所以原函数的定义域是.（3分），（5分）所以值域为.（6分）（2）在区间上任取，且，则（8分），（9分）又，（10分），（11分）函数在上递减. （12分）6.已知函数，求、的值. 详解：，（3分），（6分）.（12分）7.已知函数.（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.参考答案：（1）证明：在区间上任取，且，则有（1分），（3分），（4分）即（5分），所以在上是减函数（6分）（2）由（1）知在区间上单调递减，所以（12分）8.已知函数其中 （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合. 参考答案：（1）.若要上式有意义，则，即. （3分）所以所求定义域为 （4分）（2）设，则.（7分）所以是偶函数. （8分）（3），即 ，.当时，上述不等式等价于，解得.（10分） 当时，原不等式等价于，解得.（12分）综上所述, 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.9.已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，求a，b的值.参考答案：（1）定义域为R，故是奇函数. （6分）（2）由，则.（8分）又log3 (4a-b)=1，即4a-b=3. （10分）由，解得a=1，b=1. （12分）10.对于函数. （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数. 参考答案：(1) 的定义域为R, 设,则=,（3分）, ,（5分）即,所以不论为何实数总为增函数. （6分）（2）假设存在实数a使为奇函数, （7分）即,（9分） 解得: （12分） 11.（1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. x21.510.500.511.52f (x)3.511.022.371.560.381.232.773.454.89（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围. 参考答案：（1）由，（3分）得到函数在（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）内有零点. （6分）（2）设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以，（8分）即， （10分） （12分）12.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ 参考答案：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个. 设销售单价定为x元，则每个利润为（x40）元，日均销量为个.由于，且，得.（3分）则日均销售利润为，.（8分）易知，当，y有最大值. （11分）所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. （12分）13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？ 参考答案：（1） ， 为减函数. （3分） 随时间的增加，臭氧的含量是减少. （6分）（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即，（8分） 两边去自然对数，（10分）解得.（11分） 287年以后将会有一半的臭氧消失. （12分）14.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由. 参考答案：当选用二次函数的模型时，由，有， 解得，（4分）.（5分）当选用指数型函数的模型时， 由 有，解得， （9分） .（10分）根据4月份的实际产量可知，选用作模拟函数较好. （12分）15.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. 试求函数 的解析式,并画出函数的图象. 参考答案：（1）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，（4分）（2）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，（8分）（3）当时，. （10分）（12分）16.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？ 参考答案：（1）当0t1时，y=4t；（2分）当t1时，此时在曲线上，这时. （5分）所以.（6分）（2） ， （8分）解得 ，（10分） .（11分） 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. （12分）必修2P(1)1.圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 参考答案：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1 C1 ，如图所示. 2分设正方体棱长为x，则CC1 =x，C1 D1 。 作SOEF于O，则SO，OE=1，.5分， ，即.10分 ， 即内接正方体棱长为cm.12分2.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 参考答案：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面. .3分 S半球 =8 ， S圆台侧 =35 ，S圆台底 =25.故所求几何体的表面积为68 .7分由，9分.11分所以，旋转体的体积为12分3.直角三角形三边长分别是、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积. 参考答案：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为：其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为；-3分体积为。.4分同理可求得当绕3cm边旋转时，。.8分得当绕4cm边旋转时，。.12分4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 参考答案：证明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分别是AB和CD的中点， EHBD.3分又 ， FGBD. EHFG. 分所以，E、F、G、H四点共面.-7分（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P. 9分 AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点， 由公理3知PAC. 11分所以，三条直线EF、GH、AC交于一点.12分5.如图，直线与分别交,于点和点，求证：. 参考答案：证明：连结，交于，连3分则由得7分 由得.10分所以.12分6.如图，在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1 中. （P79 B2）求证：（1）B1 D平面A1 C1 B； （2）B1 D与平面A1 C1 B的交点设为H，则点H是A1 C1 B的垂心.参考答案：（1）连，又面，所以，面，因此。 同理可证，所以B1 D平面A1 C1 B。6分 （2）连，由，得 ，因此点为的外心。又为正三角形，所以是的中心，也是的重心。. 12分7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（1） 求证：； （2）求证：平面；（3）求二面角的大小. （2） 参考答案：（1） PA平面 ABCD，AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又ABAC，AC平面ABCD， ACPB. 4分（2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，EOPB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，PB平面 AEC.8分（3）取AD的中点F，的中点，连，则所以是所求二面角的平面角，且与对应相等。易知由图可知，为所求。12分8.已知，求点D的坐标，使直线CDAB，且CBAD参考答案：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率K ，2分.直线的斜率K ，直线的斜率K ，直线的斜率K 。8分由CDAB，且CBAD，得，11分所以点的坐标是（，）.12分9.求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 参考答案：因为直线经过点（，），且在轴，轴上的截距相等，所以（）当直线过原点时，它的方程为；5分（）当直线不过原点时，设它的方程为由已知得，所以，直线的方程为。.11分综上，直线的方程为，或者。.12分10.三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）. （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程；（3）求BC边的垂直平分线的方程参考答案：（）所以边上的高所在直线的斜率为又过点，所以直线的方程为即；.4分（）BC中点坐标为,所以所在直线的方程为即。.8分（3）易知即为所求。.12分11.在x轴上求一点，使以点、和点P为顶点的三角形的面积为10. 参考答案：依设，直线AB的方程是。.3分在中，设AB边上的高为，则，.7分设，则P到AB的距离为所以，.10分解得或。.11分所以，所求点的坐标是，或。. 12分12.过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程. 参考答案：如图，设直线夹在直线之间的部分是AB，且被平分。设点，的坐标分别是，则有，4分又，两点分别在直线上，所以。.8分由上述四个式子得，即点坐标是，.11分所以由两点式的即的方程为。.12分13.的三个顶点的坐标分别是、；，求它的外接圆的方程. 参考答案：设所求圆的方程为，.2分则依设有。11分所以，为所求。.12分14.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点轨迹方程. 参考答案：圆的圆心为P(-1,0)，半径长为2，.4分线段AB中点为M(x, y). 5分取PB中点N,其坐标为(,)，即N(,)7分 M、N为AB、PB的中点, MNPA且MN=PA=1. .9分 动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆.所求轨迹方程为：.12分15.过点的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l方程. 参考答案：由，所以圆心坐标为，半径。.3分 因为直线被圆所截得的弦长是，所以弦心距为，.5分因为直线过点，所以可设所求直线的方程为，即。.7分依设得。.10分所以，所求直线有两条，它们分别为 或。即或。.12分16.求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程. 参考答案：解法一：设两圆交点为，由方程组，所以，5分因此的中垂线方程为。由，所求圆心的坐标是。 9分， 10分所以，所求圆的方程为即125分解法二：设过圆与圆交点的圆的方程为，4分即.6分其圆心坐标是，.8分因为圆心在上，所以，解得。10分所以，所求的圆的方程为，即.12分必修3P(1)1.设计一个算法求的值，并画出程序框图. 参考答案：2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100400 h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.（12分）参考答案：（1）样本频率分布表如右.-3分（2）频率分布直方图如下.-6分（3）元件寿命在100 h400 h以内的在总体中占的比例为0.65.-9分（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例为0.35.-12分3.甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？（12分）参考答案：（1）,.，即乙种玉米的苗长得高. -6分（2），.，即乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐. -12分4.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料： （1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）（12分）参考答案：（1）所以回归直线方程为-9分（2），即估计用10年时维修费约为12.38万元.-12分5.在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. （1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若甲计划在9：009：40之间赶到，乙计划在9：2010：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.（12分）参考答案：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验的结果共有（种）. 中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为； （ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为. 所以，中奖这个事件包含的基本事件数为15+6=21. 因此,中奖概率为.-5分（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟. 用表示每次试验的结果，则所有可能结果为 ； 记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为 . 如图所示，试验全部结果构成区域为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分. 根据几何概型公式，得到 .所以，甲比乙提前到达的概率为.-12分6.（2008年韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的概率.（12分）参考答案：（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：. 直方图如右所示.-4分（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为.所以，抽样学生成绩的合格率是%.利用组中值估算抽样学生的平均分71.估计这次考试的平均分是71分.-8分（3） ，的人数是15，3. 所以从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，他们选在同一组的概率为 .-12分7.（08年广东卷.文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y245, z245,求初三年级中女生比男生多的概率.（12分）参考答案：（1） ， .-4分（2）初三年级人数为yz2000（373377380370）500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：（名）.-8分（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；由（2）知 ，且，基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、（255，245）共11个.事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个. -12分8.（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.（12分）参考答案：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间. 因此乙班平均身高高于甲班;-4分（2） ， 甲班的样本方差为 57.-8分（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A； 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件. .-12分必修4P(1)1.已知角a的终边经过P(4,-3).（1）求2sinacosa的值； （2）求角a的终边与单位圆的交点P的坐标.参考答案：（1） ， 。2分 ，. 。6分 2sinacosa. 。8分（2）角a的终边与单位圆的交点P的坐标为，即.。12分2.已知，计算： （1）； （2）； （3）； （4）.3.求函数的定义域、周期和单调区间. 参考答案：（1）由，解得. 定义域. 。3分（2）周期函数，周期. 。6分由，解得 函数的单调递增区间为.。12分4.已知tan，计算： （1）； （2）.参考答案：5.画函数y3sin(2x)，xR简图，并说明此函数图象怎样由变换而来. 参考答案：由五点法，列表： 描点画图，如下：。6分这种曲线也可由图象变换得到，即：ysinx。12分6.某正弦交流电的电压（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是 .（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当，时，求瞬时电压；（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光. 取）参考答案：（1）周期， 频率，振幅. 。3分（2）时，（V）； 时，（V）. 。6分（3）由及，得. 。9分结合正弦图象，取半个周期，有，解得. 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为（s）.。12分7.平面上三个力、作用于一点且处于平衡状态，与的夹角为，求：（1）的大小； （2）与夹角的大小. 参考答案：三个力平衡，F1 F2 F3 0，。2分|F3 |F1 F2 |+1，。6分而F3 与F1 的夹角可由余弦定理求得，cosF3 ，F1 ，F3 与F1 的夹角为30. 。10分则F3 与F1 的夹角为18030150. 。12分8.已知，（1）求与的夹角；（2）若，且，试求.参考答案：（1）61， ，。4分 .。6分（2）设，则，解得或.。10分所以，或.。12分9.已知，求的值. 参考答案：10.已知，求的值. 已知, 0, cos()= , sin(+)= , 求sin(+)的值.参考答案：+()= +(+)，。2分 sin(+)=cos+(+)=cos(+)()=cos(+)cos()+sin(+)sin() 。4分 0，0+.。6分 sin()=，。8分cos(+)=.。10分由(1)得: sin(+)=+()=.。12分11.（1）（07年江苏卷.11）已知，求的值； （2）已知，求的值. 参考答案：（1） cos ()cos cossin sin ； cos () cos cossin sin .。2分得cos cos， 得 sin sin， 。14分 tantan.。6分12.已知函数. （1） 求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.参考答案：13.已知函数.（1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的集合.参考答案：14.已知函数的最大值为1. （1）求常数a的值； （2）求使成立的x的取值集合.参考答案：15.（2009年广东卷.理16）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值.参考答案：（1）与互相垂直，则，。2分即，代入，解得.。6分又，.。8分（2），则.。10分.。12分16.已知，且.（1）求 及； （2）求函数的最小值.参考答案：（1）， 。2分 .。4分 ， . . 。6分 （2）.必修5P(1)1.在ABC中，已知，B=45 ，求A、C及c. 参考答案：解一：根据正弦定理，. （3分）B=4590，且b0，解得：1x3；由f(x)0，解得：x3，则函数f(x)的单调递增区间为（1, 3），单调递减区间为（，1）和（3，+）. （6分）（2）由f(x)=0，解得：x=1或x=3. 列表如下：（9分）x(，1)1(1, 3)3(3,+ )f(x)0+0f(x)单调递减单调递增0单调递减函数f(x)的极大值为0，极小值为.（12分）2.点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹. 参考答案：设是点到直线的距离，根据题意得，点的轨迹就是集合，（4分）由此得。将上式两边平方，并化简，得。即。（9分）所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。. （12分）3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此