高中数学必修2--第三章《直线与方程》知识点总结与练习教学内容.doc

高中数学必修2__第三章《直线与方程》知识点总结与练习

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第八章　平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[知识能否忆起]
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)_．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.
二、直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方　程
局限性
点斜式
过点(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k，纵截距为b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)
＝
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)
＋＝1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)

[小题能否全取]
1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　　　　　　 B．60°
C．150° D．120°
解析：选C　由k＝tan α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.
2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析：选A　由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A　由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.
4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.
所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0.
答案：3x＋2y－1＝0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．

直线的倾斜角与斜率

典题导入
[例1]　(1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　　 B．－3
C．0 D．2
(2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
[自主解答]　(1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3.
(2)由题知k＝－cos θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.
[答案]　(1)B　(2)∪
由题悟法
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
以题试法
1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
解析：选D　由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.
2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪ D.
解析：选D　由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.
∵kPA＝－2，kPB＝，
∴－2≤k≤.

直 线 方 程

典题导入
[例2]　(1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．
(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．
[自主解答]　(1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.
则所求直线方程为x－2y－1＝0.
(2)由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
[答案]　(1)x－2y－1＝0　(2)2x－y－1＝0
由题悟法
求直线方程的方法主要有以下两种：
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

以题试法
3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
因为线段AB，AC中点坐标分别为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.

直线方程的综合应用

典题导入
[例3]　(2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[自主解答]　法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．
由题意知则点B(6－x，－y)，
解方程组
得则k＝＝8.
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，
点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
由解得
由解得
∵P(3,0)是线段AB的中点，
∴yA＋yB＝0，即＋＝0，
∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.
若k＝0，则xA＝1，xB＝－3，
此时＝≠3，∴k＝0舍去，
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，
即8x－y－24＝0.
由题悟法
解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
以题试法
4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
A，B(0，1－2k)，
△AOB的面积S＝(1－2k)
＝≥(4＋4)＝4.
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)∵|MA|＝ ，|MB|＝，
∴|MA|·|MB|＝ ·＝2 ≥2×2＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
故直线方程为x＋y－3＝0.

[典例]　(2012·西安模拟)设直线l的方程为
(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

[尝试解题]　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．
故a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
则或
∴a≤－1.
综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．

——————[易错提醒]———————————————————————————
1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.
2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.
——————————————————————————————————————针对训练
过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．
解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；
②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，
即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.
即直线方程为x－y－7＝0.
答案：y＝－x或x－y－7＝0

1．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点(　　)
A．(1，－2)　　　　　　　 B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
解析：选A　因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．
2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是(　　)
A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0
C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0
解析：选B　因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.
3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
解析：选D　∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.
又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，
整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．
4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　)
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
解析：选A　将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：选C　线段AB的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.
7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.
答案：(－∞，－1)∪
8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．
解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.
综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.
答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
9．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．
解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得
(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，
则得
答案：(－2,3)
10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．
解：设所求直线方程为＋＝1，
由已知可得解得或
故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]，
∴k＝∈(－∞，－ ]∪，
∴α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.
12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(， )．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

1．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由解得
∵两直线交点在第一象限，∴解得k＞.
∴直线l的倾斜角的范围是.
2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．
解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，
∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则
解得k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．
又－<0且1＋2k>0，∴k>0.
故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为(　　)
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
解析：选B　∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，
∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.
2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
解析：k＝tan α＝＝.
∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
故－2＜a＜1.
答案：(－2,1)

3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.
∴1＝＋≥2 ，即ab≥24.
∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，
△ABO的面积最小，最小值为12.
此时直线l的方程为＋＝1.
即2x＋3y－12＝0.

第二节两直线的位置关系

[知识能否忆起]
一、两条直线的位置关系

斜截式
一般式
方
程
y＝k1x＋b1
y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
相
交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0

垂
直
k1＝－或
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0

平
行
k1＝k2
且b1≠b2
或

重
合
k1＝k2
且b1＝b2
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)

二、两条直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
三、几种距离
1．两点间的距离
平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：
d(A，B)＝|AB|＝.
2．点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3．两条平行线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．－6
C．5 D．－5
解析：选B　由已知得k1＝1，k2＝.
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，
∴1×＝－1，即m＝－6.
2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为(　　)
A. B.
C．5 D.
解析：选B　d＝＝.
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(　　)
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
解析：选B　设对称点为(x′，y′)，则

解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为(　　)
A．3 B．5
C．－5 D．－8
解析：选D　由得l1与l2的交点坐标为(1,1)．
所以m＋3＋5＝0，m＝－8.
5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．
解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.
答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．
2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．

两直线的平行与垂直

典题导入
[例1]　(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答]　由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.
[答案]　A

在本例中若l1⊥l2，试求a.
解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，
∴a＝－.

由题悟法
1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
以题试法
1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C　由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．

两直线的交点与距离问题

典题导入
[例2]　(2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.
[自主解答]　因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.
设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.
[答案]　
由题悟法
1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．
2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：
(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.
(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
以题试法
2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
解析：由题意得＝≠，
得a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
则＝，解得c＝2或－6.
答案：2或－6

对 称 问 题

典题导入
[例3]　(2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．6
C．3 D．2
[自主解答]　如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝＝2即为光线所经过的路程．
[答案]　A
由题悟法
对称问题主要包括中心对称和轴对称
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
以题试法
3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A　与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.

　　　[典例]　(2012·银川一中月考)求经过直线l1：
3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂
直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

[常规解法]　解方程组
得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．
由l3的斜率得l的斜率为－.
则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y－1＝0.
——————[高手支招]———————————————————————————
运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
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[巧思妙解]　由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.
代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.
针对训练
求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．
解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为，.
又所围成的三角形面积S＝··＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.
故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.
即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.

1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．
2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　解方程组得两直线的交点坐标为，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．
3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　)
A. B.
C．4 D．8
解析：选B　∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.
4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：选B　由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．
5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选A　依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，
即y＝x＋，其斜率是，
由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.
6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是(　　)
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0
解析：选C　设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.
7．(2012·郑州模拟)若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．
解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.
答案：－
8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．
解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．
答案：[0,10]
10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．
解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.
11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
由
解得A；
由解得B.
∵|AB|＝，
∴ ＝，
整理，得7k2－48k－7＝0，
解得k1＝7或k2＝－.
因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.
12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.

1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　∵点P到点A和定直线距离相等，
∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.
设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．
2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C　设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.
3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．

解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
则a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，
则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②
解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．

1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线xsin θ＋ycos θ－1＝0的距离是，那么θ等于(　　)
A. B.或
C. D.或
解析：选B　由已知得＝，
即|sin θ－sin2θ|＝，
∴4sin2θ－4sin θ－1＝0或4sin2θ－4sin θ＋1＝0，
∴sin θ＝或sin θ＝.
∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1，
∴sin θ＝，即θ＝或.
2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选B　l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.
3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线