河南省郑州市2021届高三第二次质量预测-数学(理)-扫描版含答案.docx

2021年高中毕业班级其次次质量猜想
理科数学 参考答案
一、选择题 BCDCB \ DDCAD \ CA
二、填空题 13.； 14. ；15. ； 16. (2) (3) (4).
三、解答题
17.解：(Ⅰ)设等差数列公差为，由题意知，由于成等比数列，所以，
，即
所以 ……… 4分 所以. ……… 6分
A
B
C
O
A1
B1
C1
（Ⅱ）， ……… 8分
所以. ……… 12分
18. （1）证明：取中点，连接，
由于平面平面，，
所以平面 所以.
又， 所以平面，
所以 .……… 4分
在菱形中，.所以平面，
A
B
C
O
A1
B1
C1

所以.　　 ……… 6分
（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设是面的一个法向量，则，
即取可得……… 10分
又,所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值
=. ……… 12分
19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则……… 3分
（2）设销售A商品获得的利润为（单位：元）, 依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润，
则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件.
当购进A商品4件时，
当购进A商品5件时，
当购进A商品6件时，
= ……… 9分
由题意，解得，又知，所以x的取值范围为， … 12分
20.解:（1）由于椭圆,由题意得, ，， 所以解得所以椭圆的方程为 …… 4分
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,由于，所以有,
设，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组
得,即,
则△=,即
……… 6分

要使,需,即,
所以,所以又,所以,
所以,即或,由于直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,所求的圆为, ……… 10分
此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足, 综上, 存在圆心在原点的圆满足条件. ……… 12分
21.解：（1）由已知得函数的定义域为 =
当时，在定义域内恒成立，的单调增区间为，
当时，由得 当时，；当时，
的单调增区间为，减区间为 ……… 5分
（2）由（1）知当时，的单调增区间为，减区间为.
所以所以恒成立，
当时取等号. 令=，则 ……… 7分
当时，；当时，
从而在上单调递增，在上单调递减 所以， ……… 10分
所以，存在使得不等式成立
只需 即： …… 12分
22．（10分）选修4－1：几何证明选讲
解：（1）证明：连结，由题意知为直角三角形.
由于，，∽，
所以，即.
又， 所以. ……… 5分
（2）由于是圆的切线，所以，
又，所以，
由于，又，所以∽.
所以，得
……… 10分
23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程
解（1）由 得，
所以曲线可化为，， 由得，
所以，所以曲线可化为. ……… 5分
（2）若曲线，有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时照旧只有一个公共点，
联立，得，
，解得，综上可求得的取值范围是. ……… 10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（I）不等式，即，
当时，即 解得
当时，即 解得
当时，即无解， 综上所述 ……… 5分
（Ⅱ），
令
时，，要使不等式恒成立，
只需即. ……… 10分