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南通市2021届高三其次次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 命题“，”的否定是“ ▲ ”．
【答案】，
2． 设(为虚数单位，，)，则的值为 ▲ ．
【答案】0
3． 设集合，，则 ▲ ．
I ← 1
While I < 7
S ← 2 I + 1
I ← I + 2
End While
Print S
（第4题）
【答案】
4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．
【答案】11
5． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)
如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．
【答案】0.02
6． 若函数的图象与轴相邻两个交点间的距离为2，则实数的值
为 ▲ ．
【答案】
7． 在平面直角坐标系中，若曲线在(为自然对数的底数)处的切线与直线
垂直，则实数的值为 ▲ ．
【答案】
A
A 1
B不
C不
B1不
C1不
D1不
D不
（第8题）
8． 如图，在长方体中，3 cm，2 cm，1 cm，则三棱锥
的体积为 ▲ cm3．
【答案】1
9． 已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为．
若()，则的值为 ▲ ．
【答案】7
10．设()是上的单调增函数，则的值为 ▲ ．
【答案】6
11．在平行四边形中，，则线段的长为 ▲ ．
B
D
C
（第12题）
A
【答案】
12．如图，在△ABC中，，，，点在边上，
45°，则的值为 ▲ ．
【答案】
13．设，，均为大于1的实数，且为和的等比中项，则的最小值为 ▲ ．
【答案】
14．在平面直角坐标系中，圆：，圆：．
若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，
则半径r的取值范围是 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
A
B
C
D
M
N
Q
（第15题）
如图，在四周体中，平面平面，90°．，，分别为棱，
，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
证明：（1）由于，分别为棱，的中点，
所以， …… 2分
又平面，平面，
故平面． …… 6分
（2）由于，分别为棱，的中点，所以，
又°，故． …… 8分
由于平面平面，平面平面， 且平面，
所以平面． …… 11分
又平面，
平面平面． …… 14分
（注：若使用真命题“假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“平面”，扣1分．）
16．（本小题满分14分）
体育测试成果分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名同学参与测试的结果如下：
等级
优
良
中
不及格
人数
5
19
23
3
（1）从该班任意抽取1名同学，求这名同学的测试成果为“良”或“中”的概率；
（2）测试成果为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中
任选2人参与学校的某项体育竞赛．
① 写出全部等可能的基本大事；
② 求参赛同学中恰有1名女生的概率．
解：（1）记“测试成果为良或中”为大事，“测试成果为良”为大事，“测试成果为中”
为大事，大事，是互斥的. …… 2分
由已知，有． …… 4分
由于当大事，之一发生时，大事发生，
所以由互斥大事的概率公式，得
． …… 6分
（2）① 有10个基本大事：，，，，，，
，，，． …… 9分
② 记“参赛同学中恰好有1名女生”为大事．在上述等可能的10个基本大事中，
大事包含了，，，，，．
故所求的概率为．
答：（1）这名同学的测试成果为“良”或“中”的概率为；
（2）参赛同学中恰有1名女生的概率为． ……14分
（注：不指明互斥大事扣1分；不记大事扣1分，不重复扣分；不答扣1分．大事包含的6种基本大事不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知向量(1，0)，(0，2).设向量()，
，其中.
（1）若，，求xy的值；
（2）若xy，求实数的最大值，并求取最大值时的值.
解：（1）（方法1）当，时，，()， …… 2分
则． …… 6分
（方法2）依题意，， …… 2分
则
． …… 6分
（2）依题意，，，
由于xy，
所以，
整理得，， …… 9分
令，
则
. …… 11分
令，得或，
又，故.
0
↘
微小值
↗
列表：
故当时，，此时实数取最大值. …… 14分
（注：第（2）小问中，得到，，及与的等式，各1分．）
18．（本小题满分16分）
x
y
O
P
A
F
（第18题）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为
.为椭圆上一点，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，求椭圆的离心率；
（3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的
右准线相切.
解：（1）由于，，所以，即，
由得，，即, …… 3分
又，
所以，解得或(舍去) ． …… 5分
（2）当时,，
由得，，即，故， …… 8分
所以，解得（负值已舍）． …… 10分
（3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且，①
由得，,即, ②
由①②得，，
解得或(舍去). …… 13分
所以
，
所以以为圆心，为半径的圆与右准线相切. …… 16分
（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线的距离为，得1分；直接使用焦半
径公式扣1分．）
19．（本小题满分16分）
设，函数．
（1）若为奇函数，求的值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，求函数零点的个数．
解：（1）若为奇函数，则，
令得，，即，
所以，此时为奇函数． …… 4分
（2）由于对任意的，恒成立，所以．
当时，对任意的，恒成立，所以； …… 6分
当时，易得在上是单调增函数，在上
是单调减函数，在上是单调增函数，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以a不存在；
当时，，解得，
所以；
综上得，或． …… 10分
（3）设，
令
则，，
第一步，令，
所以，当时，，判别式，
解得，；
当时，由得，即，
解得；
其次步，易得，且，
① 若，其中，
当时，，记，由于对称轴，
，且，所以方程有2个不同的实根；
当时，，记，由于对称轴，
，且，所以方程有1个实根，
从而方程有3个不同的实根；
② 若，其中，
由①知，方程有3个不同的实根；
③ 若，
当时，，记，由于对称轴，
，且，所以方程有1个实根；
当时，，记，由于对称轴，
，且，
， …… 14分
记，则，
故为上增函数，且，，
所以有唯一解，不妨记为，且，
若，即，方程有0个实根；
若，即，方程有1个实根；
若，即，方程有2个实根，
所以，当时，方程有1个实根；
当时，方程有2个实根；
当时，方程有3个实根．
综上，当时，函数的零点个数为7；
当时，函数的零点个数为8；
当时，函数的零点个数为9． …… 16分
（注：第（1）小问中，求得后不验证为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分别参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）
20．（本小题满分16分）
设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列．记．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34．
① 求数列和的通项公式；
② 是否存在元素均为正整数的集合，，…，(，)，使得数列
，，…，为等差数列？证明你的结论．
解：（1）证明：依题意，
， …… 3分
从而，又，
所以是首项为，公比为的等比数列． …… 5分
（2）① 法1：由（1）得，等比数列的前3项为，，，
则，
解得，从而， …… 7分
且
解得，，
所以，． …… 10分
法2：依题意，得 …… 7分
消去，得
消去，得
消去，得，
从而可解得，，，，
所以，． …… 10分
② 假设存在满足题意的集合，不妨设，，，，且，，
，成等差数列，
则，
由于，所以， ①
若，则，
结合①得，，
化简得，， ②
由于，，不难知，这与②冲突，
所以只能，
同理，，
所以，，为数列的连续三项，从而，
即，
故，只能，这与冲突，
所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合． …… 16分
（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）
南通市2021届高三其次次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
B
A
C
P
O
（第21 - A题）
如图，从圆外一点引圆的切线及割线，为切点．
求证：．
证明：由于PC为圆的切线，
所以， …… 3分
又，
故△∽△， …… 7分
所以，
即． …… 10分
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
设是矩阵的一个特征向量，求实数的值．
解：设是矩阵属于特征值的一个特征向量，
则， …… 5分
故解得 …… 10分
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，设直线与曲线相交于，两点，求线段中点
的极坐标．
解：（方法1）将直线化为一般方程得，，
将曲线化为一般方程得，, …… 4分
联立并消去得，，
解得，，
所以AB中点的横坐标为，纵坐标为， …… 8分
化为极坐标为． …… 10分
（方法2）联立直线与曲线的方程组 …… 2分
消去，得，
解得，， …… 6分
所以线段中点的极坐标为，即． …… 10分
（注：将线段中点的极坐标写成的不扣分．）
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设实数，，满足，求证：．
证明：由柯西不等式，得， …… 6分
由于，
故， …… 8分
当且仅当，即，，时取“”． …… 10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）求，的值；
（2）过点作垂直于轴，为垂足，直线与抛物线的另一交点为，点在直线
B
（第22题）
y
x
O
A
C
P
M
上．若，，的斜率分别为，，，且，求点的坐标．
解：（1）将点代入，
得， …… 2分
将点代入，得，
由于，所以． …… 4分
（2）依题意，的坐标为，
直线的方程为，
联立并解得， …… 6分
所以，
代入得，， …… 8分
从而直线的方程为，
联立并解得． …… 10分
23．（本小题满分10分）
设A，B均为非空集合，且AB，AB，…，(3，)．记A，
B中元素的个数分别为a，b，全部满足“aB，且b”的集合对(A，B)的个数为．
（1）求a3，a4的值；
（2）求．
解：（1）当3时，AB{1，2，3}，且AB，
若a1，b2，则1，2，共种；
若a2，b1，则2，1，共种，
所以a3； …… 2分
当4时，AB{1，2，3，4}，且AB，
0
↘
微小值
↗
若a1，b3，则1，3，共种；
若a2，b2，则2，2，这与AB冲突；
若a3，b1，则3，1，共种，
所以a4． …… 4分
（2）当为偶数时，AB{1，2，3，…，n}，且AB，
若a1，b，则1，，共（考虑）种；
若a2，b，则2，，共（考虑）种；
……
若a，b，则，，共（考虑）种；
若a，b，则，，这与AB冲突；
若a，b，则，，共（考虑）种；
……
若a，b，则，1，共（考虑）种，
所以an……； …… 8分
当为奇数时，同理得，an…，
综上得， …… 10分
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