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第三次月考数学理试题
一．选择题(每小题5分，共60分)
1．设集合，，则的子集的个数是（ A ）
A．4 B．3 C ．2 D．1
2．复数的共轭复数为（B ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（C ）
A．若命题都是真命题，则命题“”为真命题
B．命题“若，则或”的否命题为“若则或”
C．命题“”的否定是“”
D．“”是“”的必要不充分条件
4．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，
则的值为（B ）
A． B． C． D．
5．已知函数，且，则实数的取值范围是（A ）
A． B． C． D．
6．若，则向量与的夹角为（D ）
A． B. C. D.
7．已知，，，，则 （ D ）
A． B． C． D．
8．在正项等比数列中，，则（D ）
i=1
s=0
p=0
WHILE i＜＝2021
p=i*（i+1）
s=s+1/p
i=i+1
WEND
PRINT s
END
A． B． C． D．
9．右边程序运行后，输出的结果为 （C ）
A． B． C． D．
10．设变量满足，若目标函数的最小
值为，则的值为（B ）
A． B． C． D．
_
D
_
C
_
B
_
A
_
11．如图，四周体中，，，平面平面，若四周体的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ C ）
A． B.
C. D.
12．已知分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心， 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为,则当的面积等于时，双曲线的离心率为 （ A ）
A. B. C. D.2
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 ．
14．设为定义在上的奇函数，当时，，则－2 ．
15．已知的开放式中的系数为5，则 －1
16．数列的通项公式，其前项和为，则= 3019 .
三、解答题(共70分，解答须写出解题过程和推演步骤)
17．（本题满分12分）
在△中，角的对边分别为.已知，，且
(1) 求角的大小； （2）求△的面积.
17、(1) 解：∵A+B+C=180°由
∴ 整理，得 …………4分
解 得： ……5分 ∵ ∴C=60° ………………6分
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab ∴
由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分 ……10分
∴ …………12分
18. （本题满分12分）
在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题. 规定每位考生必需且只须在其中选做一题. 设某4名考生选做每一道题的概率均为 .
（1）求其中甲、乙两名同学选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的同学个数为，求的概率分布列及数学期望.
18. （1）设大事表示“甲选做第21题”，大事表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名同学选做同一道题的大事为“”，且大事、相互独立.
∴=.
（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～.
∴
∴变量的分布列为：
0
1
2
3
4
（或）
19.（本题满分12分）
已知在四棱锥中，底面是矩形，
且，，平面，、分
别是线段、的中点．
（1）证明：
（2）在线段上是否存在点，使得∥平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值
19、解：解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．…………2分
不妨令∵，∴，
即．…………………………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，由，得，令，解得：．∴． ……………6分
设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求．……………………………8分
（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，……9分
又∵平面，∴是与平面所成的角，
得，，平面的法向量为 ……10分
∴，
故所求二面角的余弦值为．………12分
解法二：（Ⅰ）证明：连接，则，，
又，∴ ，∴ ……2分
又，∴ ，又，
∴ ……4分
（Ⅱ）过点作交于点，则∥平面，且有…5分
再过点作∥交于点，则∥平面且，∴ 平面∥平面 …7分 ∴ ∥平面．从而满足的点即为所求．……………8分
（Ⅲ）∵平面，∴是与平面所成的角，且．
∴ ………………………………………………………………9分
取的中点，则，平面，
在平面中，过作，连接，则，
则即为二面角的平面角………………………10分
∵∽，∴ ，∵，且
∴ ，，∴ ………12分
20.（本小题满分12分）
已知定点，，满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的动直线与曲线的交点为，与过点垂直于轴的直线交于点，又已知点,试推断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明。
20.(1)设，得.………4分
(2)设代入得
得 ………6分
当时,,, ………8分
又得,PD的中点，圆M的半径.
圆心M到时直线PF距离，………11分
当 .
综上，直线PF与BD为辅直径的圆M相切。………12分
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，且.
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若的最小值为1，求的取值范围。
21解（1）………2分
∵在x=1处取得极值，∴解得………3分
（2） ∵ ∴
①当时，在区间∴的单调增区间为………5分
②当时，由
∴………8分
（3）当时，由（Ⅱ）①知，………10分
当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是………12分
选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.留意：假如多做，则按所做的第一个题目计分.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的一般方程；
（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积。
22、（1）对于：由，得，进而.………2分
对于：由（为参数），得，即.………4分
（2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距，…6分. 弦长，……8分.
因此以为边的圆的内接矩形面积………10分
23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，试求的取值范围。
23、（1）当时，， 由
得或或，解得或
即函数的定义域为。（5分）
（2）由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围为（10分）
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