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学校 班级 考号 姓名_____________________
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厦门二中2022~2021学年第一学期高三年段数学（文）科
期中考试卷
命卷老师 郑晓婷 审卷老师 祝国华
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是
A． B． C． D．
4．若，满足约束条件 ，则的最小值是
A． B． C． D．
5．若，则
A． B． C． D．
6．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是
A．若，，，，则
B．若，∥，，则
C．若∥，，则∥
D．若，，，则∥
7．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则它的一个对称中心是
A． B． C． D．
8．已知函数若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
9．如图所示，在边长为的菱形中，，对角线相交于
点是线段的一个三等分点，则 等于
A． B． C． D．
10．已知函数的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后
再依据图象做出下面的推断：若，且，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．
11．命题：“, .”的否定是 .
12．等差数列中，，则___________．
13．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为___________．
14．已知，且，则的最小值为_____ ______．
15．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为___ ________．
16．记，当时，
观看下列等式：
，
，，
可以推想，___________．
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列是各项均为正数的等差数列，，且，,成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）换题，变第18题
已知向量函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
19．（本小题满分12分）
如图所示，三棱锥A BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
如图所示，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．
A
B
C
D
31
21
东
北
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A？
21．（本小题满分14分）
如图所示，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）求四周体体积的最大值．
22．（本小题满分14分）
已知,函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；
（Ⅱ）争辩的单调性；
（Ⅲ）是否存在的值，使得方程有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
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厦门二中14-15学年（上）高三年数学（文科）期中考答题卷
一、 选择题：共10小题，每小题5分，共50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选择
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11． 12．
13． 14．
15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）
19．（本小题满分12分）
20. ( 本小题满分12分)
A
B
C
D
31
21
东
北
21．(本小题满分14分)
22. (本小题满分14分)
学校 班级 考号 姓名
uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuuu
厦门二中2022-2021学年高三（上）数学（文科）期中考试
参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共50分．
CACDA BCDBD
二、填空题：每小题4分，共24分．
11． (写成 也给分)
12． 13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6个小题，共76分．
17．解：（1）由题意， ………………………………………2分
即，解得 或 ……………………4分 由已知数列各项均为正数，所以，故 …………………6分
（2） ………………………………10分
………………………………11分
……………………………………12分
18．（I）------------------------------2分
，------------5分
∴函数的最小正周期为．--------------------------------------------------6分
（II）令，∵，∴，--------------------------------------8分
即，∴在上是增函数，在上是减函数，-----10分
∴当，即，时，．----------------------11分
当或，即或时，．---------------------12分
19.解：（解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，
∴CD⊥平面ABD. …(每个条件1分)…………6分
(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.
∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.∵M是AD的中点，
∴S△ABM＝S△ABD＝.-----------8分
由(1)知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C ABM的高h＝CD＝1，--------------10分
因此三棱锥A MBC的体积VA MBC＝VC ABM＝S△ABM·h＝.--------------12分
方法二：(1)同方法一．
(2)由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD.
且平面ABD∩平面BCD＝BD.
如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N，
则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.
又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.
∴三棱锥A MBC的体积VA MBC＝VA BCD－VM BCD
＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝. --------------12分
20．解：（Ⅰ）由已知，. -------------------------------------------------------------2分
在△BCD中，据余弦定理，有 ．---------------4分
所以． ---------------------------------------------6分
（Ⅱ）由已知可得，
所以．----------------8分
在△ABD中，依据正弦定理，有，
又BD＝21，则．-----------------------------10分
所以（分钟）． ------------------------------------------------------12分
答：这艘游轮再向前航行22.5分钟即可到达城市A．
21.解： （Ⅰ）证明：由于四边形，都是矩形， 所以 ∥∥，．
所以 四边形是平行四边形，……………2分
所以 ∥， ………………3分
由于 平面，所以 ∥平面．4分
（Ⅱ）证明：连接，设．
由于平面平面，且， 所以 平面…5分
所以 ．
又 ， 所以四边形为正方形，所以 ．
所以 平面， 所以 ． …………8分
（Ⅲ）解：设，则，其中．由（Ⅰ）得平面，
所以四周体的体积为．
所以 ．
当且仅当，即时，四周体的体积最大． …………12分
22．解：（1）当时，
所以曲线y=(x)在点处的切线的斜率为0. …………………………3分
(2) …………………………………………4分
① 当上单调递减； ………………………6分
② 当.
.
………………8分
（3）存在，使得方程有两个不等的实数根. ………………9分
理由如下：
由（1）可知当上单调递减，
方程不行能有两个不等的实数根； ………………………11分
由（2）得，使得方程有两个不等的实数根，等价于函数的微小值，即，解得
所以的取值范围是 ………………………………14分
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