广西省桂林中学2021届高三上学期12月月考数学(文)试卷-Word版含答案.docx

桂林中学2021届12月考试
高三数学文科试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）
1. 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．以上皆错
2．复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 设角的终边与单位圆相交于点，则的值是
A． B． C． D．
4. 已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则=
A． B． C． D．
5. 正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知，为的导函数，则的图象是( )

7. 设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 当时，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
9. 在数列中，， ，则 ( )
A． B． C． D．
10. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
A． B． C． D．
11. 已知函数，若是锐角三角形的两个内角，则( )
A． B、
C、 D、
12. 点是双曲线与
圆的一个交点，
且，其中、分别为双曲线C1的
左右焦点，则双曲线C1的离心率为（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13. 执行如图所示的程序框图,假如输出,
那么推断框内应填入的条件是_______.

14. 在正三角形中，是上的点，，，
则 .
15. ．已知抛物线 ，过点P(0，2)作直线l，交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，
则 .
16. 在上定义运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是____________
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）
在△中，的对边分别为，若.
（1）求证：；
（2）求边长的值；
（3）若，求△的面积.

18.（本题满分12分）
已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式；
（2）设，＝，记数列的前项和.若对， 恒成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分12分）
名同学某次数学考试成果（单位：分）的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）分别求出成果落在与中的同学人数；
（3）从成果在的同学中任选人，求此人的成果都在中的概率．

20．（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，⊥底面，
且△ 为正三角形，，为的中点．
(1)求证:直线∥平面；
(2)求证:平面⊥平面；
(3)求三棱锥的体积．

21．（本题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．

22．（本题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，
若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值.

桂林中学2021届高三12月考试
高三文科数学答案
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
A
D
B
B
C
A
A
D
A

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
13. 14. 15. 16.

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）
解:（1）由于，所以，即，
由正弦定理得，所以，
由于，所以，所以. 4分
（2）由（1）知：，所以，再由余弦定理得：
结合条件得：. 7分
（3）由平方得：，又，，得，从而有，则，
所以△的面积为. 10分
考点：向量数量积与解三角形综合.

18.（本题满分12分）
解：（1）当时，，当时，
即：，数列为以2为公比的等比数列
（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝＝＝－，
Tn＝1－＋－＋ ＋－＝1－＝.
∵≤k（n＋4），∴k≥＝．
∵n＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，
∴≤，因此k≥，故实数k的取值范围为
考点：1、等比数列通项公式；2、裂项相消法求和；3、基本不等式.

19．（本题满分12分）
解：（1）据直方图知组距为，由，
解得． 2分
（2）成果落在中的同学人数为 ， 4分
成果落在中的同学人数为． 6分
（3）记成果落在中的2人为A1，A2，成果落在[60，70） 中的3人为B1，B2，B3，则从成果在[50，70）的同学中任选人的基本大事共有个，
即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），
（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）． 8分
其中人的成果都在[60，70）中的基本大事有个，
即（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3） 10分
故所求概率为． 12分
考点：①样本的频率分布；②古典概型的概率计算．

20．（本题满分12分）
解：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点． 1分
∵D为AC中点，得为中位线，∴． 2分
∴直线平面 4分
（2）证明：∵底面，∴ 5分
∵底面正三角形，D是AC的中点 ∴ 6分
∵，∴BD⊥平面ACC1A1 7分
, 8分

（3）由（2）知中，
∴ == 10分
又是底面上的高 11分
∴=• 13分
考点：1.垂直关系；2.平行关系；3.几何体的体积，“等体积法”.

21．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由，可得，
当时，单调递减；当时，单调递增．
所以函数在上单调递增． 又，
所以函数在上的最小值为．
（Ⅱ）由题意知，则．
若存在使不等式成立，
只需小于或等于的最大值．
设，则．
当时，单调递减；当时，单调递增．
由，，，
可得．所以，当时，的最大值为．
故．

22．（本题满分12分）
解：(1）设椭圆的方程为，则.
由，得 ∴椭圆C的方程为.
（2）设，直线的方程为， 代入，
得 由，解得
由韦达定理得. 四边形的面积
∴当，.