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2021年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试
高三数学(理科答案)
一、 选择题（A卷）
1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA
一、选择题（B卷）
1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA
二、 填空题
13 14 8
15 16
三、 解答题（阅卷时发觉的正确解答，请老师参阅此评分标准酌情给分）
17解：
（1）解法1∵
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为的等比数列，…………………………………2分
∴，
∴，整理得，得……………………4分
∴，………………………………………………6分
解法2：∵
∴
∴，整理得，得………………………2分
∴
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分
∴，
………………………………………………………………………6分
（2）
∴………………………①
∴………②…………8分
① —②得
…………………………………10分
整理得：…………………………………………………………12分
18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为大事，则.
依题意，集成电路E需要修理有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为
； …………2分
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为
……………5分
所以,集成电路E需要修理的概率为． ……………6分
（Ⅱ）设为修理集成电路的个数，则，而，
…………9分
的分布列为：
0
100
200
………………10分
或. …………12分
19解：
(1) 证明一
连接交于点,在平面中做∥交于,
由于平面，平面
∥平面，---------------2
∥
由于∥,-------------4
证明二
在棱上取点，使得,------------2
连接交于点,
∥
所以，∥
由于平面，平面
所以∥平面-------------4
(2)取上一点使得连结,则为正方形.
过作⊥平面,垂足为.
连结.
，
所以和都是等边三角形，因此,
所以,
即点为正方形对角线的交点,---------------7
（或取的中点,连结,则为正方形.
连接交于点，连接，
，
-----------7）
以坐标原点，分别以的方向为轴，轴,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设棱的长为 ，则 ,
--------------9
,-----------10
-----------11
解得t=----------------12
20解：（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：.………………………4分
（2）设，，
直线PB的方程为：，
又圆心（1，0）到PB的距离为1，
，整理得：， …………………………6分
同理可得：，所以，可知是方程的两根，
所以：……………………8分
依题意，即，
则，由于，所以：
，………………10分
所以，
当时上式取得等号，所以面积最小值为8.………………………12分
解二：
（2）设，直线PB：与圆D相切，则
，整理得：
，……………………6分
,………………………8分
依题意
那么，
由韦达定理得：，则，…………………10分
所以
当时上式取得等号，所以面积最小值为8.…………………12分
21. 解：
（1）由，得．由于在区间上单调递增，则在上恒成立，………………2分
即在上恒成立，设，则，所以在上单调递减，故，所以．……………4分
（2）
解法一：
而＝
＝
故欲证 ，只需证…………………6分
即证成立∵…………………8分
设，，则
令得，列表如下：
微小值
………………………10分
∴ ∴， 即
∴当时，…………………12分
解法二：对于任意两个不相等的正数、有
＝
＝ …………………8分
∴ 而
∴＝
＝…………………10分
故： ， 即 ∴当时，………12分
22. 证明：（1）连结，，
∵为的直径，∴，
∴为的直径, ∴,
∵，∴,
∵为弧中点，∴，
∴,
∴∽，……………3分
∴， ∴。
…………………5分
（2）由（1）知，,∴∽,……………7分
∴, 由（1）知，∴． ………………10分
23.解：（1）曲线的一般方程为，……………………2分
曲线的一般方程为. ……………………4分
（2）
法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时，有最大值28，……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
法二：设点坐标为，则，由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当时，有最大值28，……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
24.
解：（1）：由于函数定义域为，所以0恒成立，…………………2分
设函数，则不大于函数的最小值，
又，即的最小值为4，所以.…………5分
（2）：由（1）知，
所以 …………6分
……………………8分
当且仅当
……………………10分
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