广东省市东莞松山湖学校、一中届高三12月联考数学试卷(文)教学教材.doc

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2015—2016学年第一学期东莞一中、松山湖学校12月月考
高三文科数学
参考公式: 锥体的体积公式:.其中是锥体的底面积，是锥体的高.
柱体的体积公式:.其中是柱体的底面积，是柱体的高.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数的实部为，且，则复数的虚部是( )
A． B． C． D．
开始
输入整数

是
否

输出
结束
3. 一算法的程序框图如图1，若输出的，
则输入的的值可能为( )
A．　 B． C．　 D．
4. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,
则的值为( )
A． B． C． D．
5. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A． B．
C． D．
6. 将函数的图象向左平移个单位，再向上
平移个单位，所得图象的函数解析式是( )
A． B． C． D．
7. 设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=( )
A． B． C． D．
8. 已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为( )
侧（左）视图
4
2
1
俯视图

2
正（主）视图
（第9题图）
A． B．
C． D．
9. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径
组成的图形，则此几何体的体积是( )
A． B．
C． D．
10. 已知是内的一点，且，，若， 和的面
x
y
（第11题图）
O
F1
F2
A
积分别为，则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
11. 如图，椭圆与双曲线有公共焦点、，它们在第一象限的交点为,
且，，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )
A．2　　　B． C． D．
12. 已知函数, 则的值为( )
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 在中,, 则_____________．
14. 曲线在处的切线方程为_____________．
15. 若满足且的最小值为，则的值为________．
16. 已知三棱锥,,, 且，则三棱锥的
外接球的表面积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（本小题满分12分）
已知为等差数列,且 数列的前项的和为，且
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）
高三某班男同学有名，女同学有名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个人的课外兴趣小组．
（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（2）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学
得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

19.（本小题满分12分）
如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直, 底面是的菱形,为的中点.
P
A
B
C
D
M
(1) 在棱上是否存在一点,使得?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；
(2) 求点到平面的距离．

20.（本小题满分12分）

已知圆：关于直线对称的圆为．
（1）求圆的方程；
（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点.设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.

21． （本题满分12分）
设函数，．其中
（1）设，求函数在上的值域；
（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．

（1）证明：；
（2）若，，求的直径．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
曲线的参数方程为:（为参数），曲线的参数方程为:（为参数）.
（1）求曲线的普通方程，若以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系, 求曲线的极坐标系方程；
（2）若点为曲线上任意一点，求点到曲线距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）求的最大值．
2015—2016学年第一学期东莞一中、松山湖学校12月月考
高三文科数学 参考答案
一．选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
C
D
A
A
B
C
C
B
D
二、填空题：(每小题5分，共20分)
11. 2 12. 13. － 14.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（本小题满分12分）已知为等差数列,且，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．
解：（1）∴，公差 …………………………1分
∴ 　　 …………………………2分
又当=1时，有 …………………………3分
当 ……………4分
∴数列{}是首项，公比等比数列，
∴ 　　　　　 …………………………6分
（2），设数列的前项和为，
(1) …………7分
(2) 　 …………8分
得：
…………10分
化简得：　　　……………………12分

18.（本小题满分12分）高三某班男同学有名，女同学有名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个人的课外兴趣小组．
（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（2）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学
B得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．
解：（1）设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为 ………1分
把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有：

共种， ………4分
其中有一名女同学的有种
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 ………6分
（只是列出组合，没考虑顺序的同样给分）
（2）， ………8分
20090325
， ………11分
第二同学B的实验更稳定 ………………12分
19.（本小题满分12分）
如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
P
A
B
C
D
M
(1) 在棱上是否存在一点,使得?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；
(2) 求点到平面的距离.
(1)当点为棱的中点时,,证明如下:………………1分
取棱的中点,连结,,又为的中点,
所以,
在菱形中 可得………………3分
P
A
B
C
D
M
Q
O
、

所以………………5分
(2)点到平面的距离即点到平面的距离,
由(Ⅰ)可知,又平面平面,
平面平面,
平面,所以平面,
即为三棱锥的体高. ………………7分
在中,,,
在中,,,边上的高,
所以的面积,………………9分
设点到平面的距离为,
由得 ………………10分
,又,所以, ………11分
解得, 所以点到平面的距离为. ………………12分

20.（本小题满分12分）
已知圆：关于直线对称的圆为．
（1）求圆的方程；
（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点.设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.
20．解：（1）圆化为标准为. ……………………1分
设圆的圆心关于直线的对称点为，则且的中点在直线上，所以有， ……………………3分
解得， ……………………4分
所以圆的方程为. ……………………5分
（2）由可知四边形为平行四边形.
又，所以四边形为矩形，所以.
要使，必须使，即：. ……………………6分
①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程，与圆交于两点.
因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线：满足条件. ……………………7分
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.
设.
由得
. ……………………8分
由于点在圆内部，所以恒成立.
由韦达定理得：，. ………………9分
要使，必须使，即：
也就是：.
整理得：.
解得：.所以直线的方程为. …………………11分
所以存在直线和，它们与圆交于两点，且四边形的对角线相等． ……………………12分
22． （本题满分12分）
设函数，．其中
（1）设，求函数在上的值域；
（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．
21．（本题满分12分）解析：（1）， ……………1分
令， 则，
当时，，在上单调递减函数，
当时，，在上单调递增函数， ……………………3分
又依据，， …………4分
∴在上有最小值，有最大值
即函数在上的值域． …………………5分
（2），
当时，令，则， …………………6分
故，∴， …………………7分
原不等式化为，即，
令，则， …………………8分
由得：， 解得，
当时，；当时，．
故当时，取最小值， …………………10分
令，则．
故，即．
因此，存在正数，使原不等式成立． …………………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．

（1）证明：；
（2）若，，求的直径．
22．
又，所以，从而.
又切圆于点，得，所以.
（2）由（I）知平分，则,又，从而，
所以，所以.由切割线定理得，即，
故，即圆的直径为.

23.（本小题满分10分）
曲线的参数方程为:（为参数）， 曲线的参数方程为:（为参数）.
（1）求曲线的普通方程，若以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系, 求曲线的极坐标系方程；
（2）若点为曲线上任意一点，求点到曲线距离的最小值.
23. 解 的普通方程为: ………2分
曲线的普通方程为 ………3分

曲线的极坐标系方程 ………5分
（2）设，则求点到曲线距离为 ………7分
………9分
故当=时，有最小值为 ………10分

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）求的最大值．
故.

只供学习与交流