资源描述
2022～2021学年度其次学期期初调研测试
高三数学试题（数学Ⅰ）
(考试时间：120分钟 总分160分)
留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．设集合则 ▲ ．
2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从全部师生中抽取一个容量为160的样本，已知从同学中抽取的人数为150，那么该学校的老师人数是____▲____．
3．计算复数＝ ▲ （为虚数单位）．
4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则毁灭向上点数之和大于9的概率是 ▲ ．
开头
输出
结束
是
否
5．若，则的最小值是___▲______.
6．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则.
其中正确命题的序号是 ▲ ．
7．已知满足约束条件,则的最大值为 ▲ .
8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是____▲____.
9．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____▲____．
10．若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为 ▲ .
11．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .
12．已知函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，……，由此推想函数的图像的对称中心为 ▲ ．
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是 ▲ ．
14．已知是锐角的外接圆圆心，，，则 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分14分）
如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．
（I）求证：平面；
（II）若，求证：．
16．(本小题满分14分)
已知函数的最小正周期为.
（I）求.
（II）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数在区间上的图象,并依据图象写出其在上的单调递减区间.
17. (本小题满分14分)
光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。强度分别为a,b的两个光源A，B间的距离为d，在连结两光源的线段AB（不含端点）上有一点P，设PA=，P点处的“总照度”等于各照度之和。
（I）若a=8，b=1，d=3，求点P的“总照度”的函数表达式;
（II）在（1）问中，点P在何处总照度最小？
18．(本小题满分16分)
已知椭圆的左顶点为，点，为坐标原点．
（I）若是椭圆上任意一点，，求的值；
（II）设是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
（Ⅲ）设是椭圆上的两个动点，满足，摸索究的面积是否为定值，说明理由．
19．(本小题满分16分)
设数列的首项为常数，且．
（I）若，证明：是等比数列；
（II）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（Ⅲ）若是递增数列，求的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知函数.
（I）求函数在区间上的最值；
（II）若(其中m为常数)，且当时，设函数的3个极值点为a,b,c,且a<b<c,证明：0<2a<b<1<c，并争辩函数的单调区间（用a，b，c表示单调区间）
2022～2021学年度其次学期期初调研测试
高三数学试题(数学Ⅱ理科附加)
(考试时间：30分钟 总分40分)
留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
21．【选做题】请考生在A,B,C,D四小题中任选两题作答，假如多做，则按所做的前两题记分。）
A.（本小题10分，几何证明选讲）
如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．
（Ⅰ）求证：直线是⊙的切线；
（Ⅱ）若⊙的半径为，求的长．
B.（本小题10分，矩阵与变换）
已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量.
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）写出矩阵的逆矩阵.
C.（本小题10分，坐标系与参数方程选讲）
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为.已知点在椭圆：上，求点到直线的距离的最大值.
D.（本小题10分，不等式选讲）
设a、b、c均为正实数，求证：++≥++．
22．(本小题10分)
如图，已知直线与抛物线相交于两点，
x
y
O
A
B
M
与轴相交于点，若.
（Ⅰ）求证：点的坐标为（1，0）；
（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值.
23. （本小题10分）
已知为等差数列，且，公差.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）依据下面几个等式：；；
；……
试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.
2022～2021学年度其次学期期初调研测试
高三数学试题参考答案及评分细则：
1、 2、150人 3、 4、 5、7 6、①③ 7、2 8、283 9、 10、 11、 12、 13、2 14、
15．证明：（Ⅰ） 连结．
∵侧面是菱形，与交于点 ∴为的中点
∵E是AB的中点 ∴； ………………3分
∵平面，平面 ∴平面
………………7分
（Ⅱ）∵侧面是菱形 ∴
∵， ，平面，平面
∴平面 ………………12分
∵平面 ∴． ………………14分
16.(Ⅰ)由题意：…………2分
…………4分
(Ⅱ)由于所以…………6分
…………8分
图像如图所示：
…………12分
由图像可知在区间上的单调递减区间为。
…………14分
17、（Ⅰ） …………4分
……………………6分
（Ⅱ）……………………8分
令I’（x）=0,解得：x=2……………………10分
列表：
x
2
I’(x)
-
0
+
I（x）
减
微小值
增
……………………12分
因此，当x=2时，总照度最小。……………………14分
18、解：（Ⅰ），得…………2分
，即………………4分
（Ⅱ）设，则
………………6分
∴ 当时，最大值为；
当时，最小值为；
即的取值范围为………………10分
（Ⅲ）（解法一）由条件得，，
平方得,
即………………12分
=
故的面积为定值………………16分
（解法二）①当直线的斜率不存在时，易得的面积为………………12分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由，可得，
………………14分
又，可得
由于，
点到直线的距离
综上：的面积为定值1………………16分
19、证明：（Ⅰ）由于，所以数列是等比数列；……4分
（Ⅱ）是公比为－2，首项为的等比数列．
通项公式为， …………………6分
若中存在连续三项成等差数列，则必有，
即
解得，即成等差数列． ………………………………………8分
（Ⅲ）假如成立，即对任意自然数均成立．
化简得 ………………10分
当为偶数时,
由于是递减数列，所以，即；…12分
当为奇数时，,由于是递增数列，
所以，即；………………………………………14分
故的取值范围为． …………………………………………………16分
20、（Ⅰ）……………………………………………2分
令解得，列表：
减
微小值
增
…………………………………………………………………4分
所以函数在上单调递减，在上单调递增。
，所以函数的最大值为，最小值为。…………………………………………………8分
（Ⅱ）由题意：
令
，可以得到函数在上单调递减，在上单调递增。
…………………………………………………………10分
由于函数的3个极值点，
又
从而函数的三个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，
由于3个极值点为a,b,c,且a<b<c,所以，所以
故0<2a<b<1<c。…………………………………………………14分
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在 上单调递增。……………………………………16分
附加题：
21.A．（Ⅰ）证明：如图，连接
是圆的半径， 是圆的切线． ………………………3分
（Ⅱ）是直径，
又，
∽，， …………………5分
，
∽， ………………………7分
设由于 ……… 9分
． 10分
(B) 解：（Ⅰ）由题知，=……………………………4分
…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）……………………………………………………………10分
21(C).解：直线的极坐标方程为，则
……………………………………4分
设，其中
点到直线的距离，其中
所以当时，的最大值为…………………………………………10分
D. ∵a、b、c均为正实数．
∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；………………4分
（＋）≥≥，当b=c时等号成立；
（＋）≥≥．………………6分
三个不等式相加即得++≥++，………………9分
当且仅当a=b=c时等号成立………………10分
22、解: (Ⅰ) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 ,
代入y2 = x得 y2－my－x0 = 0 ① y1、y2是此方程的两根,
∴ x0 ＝－y1y2 ＝1，即M点的坐标为（1, 0）. …………5分
(Ⅱ)法一：由方程①得y1＋y2 = m ,y1y2 ＝－1 ,且 | OM | = x0 =1,
于是S△AOB = | OM | |y1－y2| ==≥1，
∴ 当m = 0时，△AOB的面积取最小值1. …………10分
法二：
…………….8分
…………10分
23.（Ⅰ）略……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）结论：……………5分
证：①当时，等式成立，
②假设当时，成立，
那么当时，由于，所以
，
所以，当时，结论也成立。
综合①②知，对都成立 …………10分
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