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台州中学2022学年第一学期期中试题
高二 数学（文科）
命题人：王哲宝 审题人：季剑锋
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线l的方程为y＝x＋1，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．异面
3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
5．若直线过圆的圆心，则实数的值为（ ）
A．1 B．1 C．3 D．3
6．如图，在正方体中，
异面直线与所成的角为 （ ）
A． B． C． D．
7．点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是( )
A．2 B． C． D．
8．给岀四个命题：
(1) 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
(2) a ，b 为两个不同平面，直线a Ì a ，直线b Ì a ，且a∥b ，b∥b , 则a ∥b ;
(3) a ，b 为两个不同平面，直线m⊥a ，m⊥b 则a ∥b ;
(4) a ，b 为两个不同平面，直线m∥a ，m∥b , 则a ∥b .
其中正确的是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
9．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0
C． 2x－y－5＝0 D．4x－3y＋7＝0
10．点在同一个球的球面上，，若四周体体积的最大值为，则这个球的表面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分。）
11．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是 ．
12．若P(x,y)在圆上运动，则的最大值为 ．
13．直线l过点M(－1,2)，且与x轴，y轴交于A、B两点，若M恰为AB的中点，则直线l的
方程为 ．
14．过点A(0，)，B(7,0)的直线l1与过(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，
则实数k的值为 ．
15．已知正的边长为１，那么的直观图的面积为 ．
16．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的
水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好上升,
则____________ ．
17．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ．
三、解答题：(本大题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤)
18．（本小题满分8分）直线l过点P(4,1)，
(1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
19．（本小题满分9分）如图，四棱锥的底面是正方形， ，点E为PB的中点. 且
（1）求证：平面；
（2）求AE与平面PDB所成的角的大小.
20．（本小题满分10分）已知圆C经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
21．（本小题满分10分）如图，直角梯形中，,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，.
(1)证明：;
(2)证明：平面;
(3)若,求几何体的体积.
22．（本小题满分12分） 已知圆，直线
(1) 求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；
(2) 求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
(3) 若定点P（1，1）满足，求直线的方程。
台州中学2022学年第一学期期中答案
高二 数学（文科）
三、解答题：(本大题共5题满分共49分)
18．解：(1)直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0. ………4分
(2)由题意知直线有斜率，设直线l的方程为y－1＝k(x－4)，l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，故1－4k＝2(4－)，得k＝或k＝－2，直线l的方程为y＝x或y＝－2x＋9. ………8分
19．(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面. ………4分
(2)设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，，
又∵，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为. ………9分
20．解：（Ⅰ）设圆心的坐标为，
则，化简得，解得．
，半径．
圆C的方程为．………5分
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件。
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题得，解得，
直线l的方程为．
综上所述：直线l的方程为或．………10分
21.(1)证明： 为等边三角形，是的中点,
又由于平面平面，交线为,平面
依据面面垂直的性质定理得 平面;
又平面 ……3分
(2)证明：取中点G，连接
,且
,
,且 四边形是平行四边形
又平面，平面
平面 ……7分
(3)解：依题，直角梯形中，
则直角梯形的面积为
由（1）可知平面，是四棱锥的高
在等边中，由边长,得
故几何体的体积为
………10分
22.解：（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。
∴圆心C到直线的距离
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点； ………4分
O
B
M
A
C
方法二：∵直线过定点，
而点在圆内,
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）法一：当M与P不重合时，连结CM、CP，则，
∴
设，则，
化简得：
当M与P重合时，也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是 ………8分
法二：设则轨迹是半径为的圆
（Ⅲ）设，由得，
∴，化简的………………①
又由消去得……………（*）
∴ ………………………………②
由①②解得，带入（*）式解得，
∴直线的方程为或 ………12分
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