江苏省宿迁市2020-2021学年高二下学期期中考试-数学-Word版含答案.docx

2022～2021学年度其次学期期中调研测试
高二数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数的定义域为 .
2．已知全集，集合，集合，则.
3. 函数不论为何值时，其图像恒过的定点为 .
4．已知幂函数的图像过点，则.
5．已知函数则的值为 .
6．已知，若，则 .
7．关于的方程的两根为,且满足，则的取值范围是 .

8．已知是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射下对应的为实数，记作. 对于任意的正整数，映射由下表给出：

则使不等式的解集为 .
9．已知函数存在唯一零点,则大于的最小整数为3 .
10．函数的值域为.
11．生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现接受数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；
十二进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
例如用十二进位制表示A+B＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B＝ 92 .
12．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是.
，
，
，
…
13．已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：

若是自然数，把按上述表示，等式右侧的奇数中含有2021，则 45 .
14．已知定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，且周期为.当时，（、）,则 的值为.
二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知命题，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．

15．【解答】：化简得 A=， B=. ………………6分
（1）由于所以有. ………………10分
（2）由于，即解得. …………………………14分

16．（本题满分14分）
已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中i是虚数单位．
（1）求复数；
（2）若复数满足，求的最小值．
16．【解答】：（1），
则，由于为实数，所以有① ………………2分
，由于为纯虚数，
所以，② ……………………………………4分
由①②解得. ………………………6分
故. ………………………7分
（2）由于，则， ………………………8分
设，由于，即 ………10分
又=，故的最小值即为原点到圆上的点距离的最小值，由于原点到点的距离为，又由于圆的半径r=1，原点在圆外，
所以的最小值即为. ……………………………………14分

17．（本题满分14分）
某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，打算同时销售、两个品牌，依据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，品牌的销售利润与投入资金成正比，其关系如图1所示，品牌的销售利润与投入资金的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．
（1）分别将、两个品牌的销售利润、表示为投入资金的函数关系式；
（2）该商场方案投入5万元经销该种商品，并全部投入、两个品牌，问：怎样支配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？
(第17题)
O
O
x
x

2
0.5
4
1.5
(图1)
(图2)

17．【解答】： (1) 由于品牌的销售利润与投入资金成正比，设 ，
又过点，所以，所以 ………………3分
品牌的销售利润与投入资金的算术平方根成正比，设 ，又过点，所以，所以设 ， ………………6分
（2）设总利润为,投入品牌为万元，则投入品牌为万元，
则 ………………8分
令，则 ………………10分

当时，即时，投入品牌为：，………………13分
答：投入品牌万元、品牌万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为万元． ……………………14分
18．（本题满分16分）
（1）找出一个等比数列，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是的第几项；
（2）证明：为无理数；
（3）证明：1，，4不行能为同一等差数列中的三项．

18．【解答】：（1）取首项为1，公比为，则， ……………………2分
则． ……………………4分
（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数，使得，………………5分
则，所以为偶数， ……………………7分
设，为整数，则，所以也为偶数，
则有公约数2，这与互质相冲突， ……………………9分
所以假设不成立，所以是有理数． ……………………10分
（3）证明：假设，，4是同一等差数列中的三项，
且分别为第项且互不相等， ……………………11分
设公差为，明显，则，，
消去得，， ……………………13分
由，，都为整数，所以为有理数，
由（2）得是无理数，所以等式不行能成立， ……………………15分
所以假设不成立，即1，，4不行能为同一等差数列中的三项． …………………16分

19．（本题满分16分）
已知定义在上的函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）推断在上的单调性，并用定义法证明；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．

19．【解答】：（1）由于是定义在上的偶函数，所以，
即，即，得， ……………2分
当时，，
对于，综上 ………4分
（2）在上是单调增函数， ………………………………5分
证明如下：
设为内的任意两个值，且，则

由于，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，即，
所以在上是单调增函数． ………………………………10分
（3）在上是单调增函数，且是偶函数，又，
所以， ………………………………12分
令，则，
所以，恒成立， ………………………………14分
由于，关于在上单调递增，
所以，所以恒成立，所以. ………………………16分

20．（本题满分16分）
已知函数．
（1）当时，求的零点；
（2）若方程有三个不同的实数解，求的值；
（3）求在上的最小值.

20．【解答】：（1）当时，， ………2分
令得，当时，，（舍去）
当时，，（舍去）
所以当时，的零点为1， ………………………………4分
（2）方程，即，
变形得， ………………………………6分
从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程…(1)
与…(2)
满足下列情形之一：
（I）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等
（II）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同；
对情形（I）：若方程(1)有等根，则
解得 代入方程（2）检验符合；
若方程(2)有等根，则解得代入方程（1）检验符合；……8分
对情形（II）：设是公共根，则，
解得代入（1）得，
代入检验得三个解为-2、0、1符合
代入检验得三个解为2、0、-1符合
故有三个不同的解的值为或． ……………10分
（3）由于=,
① 当时，在上递减，在上递增，
故在上最小值为………………11分
② 当时，在上递减，在上递增，
故在上最小值为………………12分
③ 当时，
（i）当时，结合图形可知当时递减，在上递增
故此时在[-2，2]上的最小值为 ………………13分
（ii）当时，结合图形可知当时递减，当时递增，
故此时在[-2，2]上的最小值为 ……………………14分
（iii）当时，结合图形可知当时递减，当时递增，
在上最小值为 ………………………15分
综上所述： ………………………16分
解法二：由于=,
① 当时，在上递减，在上递增，
故在上最小值为 ………………12分
② 当时，在上递减，在上递增，
故在上最小值为 ………………14分
③ 当时，在上递减，当时递增，故此时在[-2，2]上的最小值为
综上所述： ………………………16分