江苏省宿迁市重点中学2021届高三下学期期初开学联考数学试卷-Word版含答案.docx

绝密★启用前
2021届高三下学期期初开学联考
注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本留意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3.作答试题，必需用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
数 学 试 卷2021-03-07

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合，则 ▲ ．
结束
开头
P ← 0
n ← 1
P ←P＋
n ← n＋1
输出n
Y
N
（ 第6题 ）
P＜0.70
2． 已知，那么复数 ▲ .
3． 从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．
4． 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于▲ ．
5．为了解宿迁市高三同学的身体发育状况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 依据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名同学中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．
（第5题）

A
B
C
P
D
E
F
第8题图
6.如图所示的流程图，最终输出的n的值是 ▲ ．
7.已知向量a，b，满足|a|＝1，| b |＝，a＋b＝(，1)，则向量
a＋b与向量a－b的夹角是 ▲ ．
8.如图，正三棱锥P－ABC的全部棱长都为4．点D，E，F分别
在棱PA，PB，PC上，满足PD＝PF＝1，PE＝2，则三棱锥P – DEF
的体积是 ▲ ．
9.在中，，点是内心，且，
则 ▲ ．

第11题图
10.已知锐角A，B满足tan(A＋B)＝2tanA，则tanB的最大值是 ▲ ．
11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为 ▲ .
12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 ▲ .
13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是 ▲ ．
14.设实数a，x，y，满足则xy的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：
15.（本小题满分14分）
设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c. 已知C＝，acosA=bcosB．
（1）求角A的大小；
（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．

（第15题）

16.（本小题满分14分）
在正三棱柱中，点是的中点，．
（1）求证：∥平面；
（2）试在棱上找一点，使．

17.（本小题满分14分）
如图，2021年春节，摄影爱好者在某公园处，发觉正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）
(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

18.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．
（1）求a，b的值．
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；
（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．

19. (本题满分16分)
设函数.
（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.

20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．
(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；
(2)确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．

高三数学参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5．40 6．4 7．π 8． 9． 10． 11. 12． 13．（21,24） 14．[－，＋]
二、解答题
15.（本小题满分14分）
解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，
（第15题）
即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，
所以有A＝B或A＋B＝． ………………… 2分
又由于C＝，得A＋B＝，与A＋B＝冲突，所以A＝B，
因此A＝． …………………4分
（2）由题设，得
在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；
在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)
＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，).
……………… 6分
所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).
……………… 10分
由于α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，
即2sin(α＋)∈(，2]．
于是，当α＋＝，即α＝时，PM＋PN取得最大值2．
…………… 14分

16．（1）证明：连接，交于点, 连接.
∵、分别是、的中点，
∴∥． ………3分
∵平面，平面，
∴∥平面． ………6分
（2）为的中点． ………7分
证明如下：
∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．
∵为的中点，是的中点，∴， ………9分
∴，．
又∵，
，∴． ………11分
∵是正三角形，是的中点，
∴．
∵平面平面, 平面平面，平面，
∴平面．
∵平面，
∴． ………13分
∵，
∴平面．
∵平面，
∴． ………14分

18.（本小题满分16分）
解（1）由题设可知a＝2，e＝＝，所以c＝，故b＝1．
因此，a＝2，b＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 ＋y2＝1．
设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．
(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．
联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得
x2－2mx＋m2－1＝0．解之得x1＝， x2＝，
从而有，x1＋x2＝， x1· x2＝，
而y1＝x1－m，y2＝x2－m，
因此，∣AB|＝＝＝
＝·，
点O到直线l的距离d＝，
所以，S△OAB＝×|AB|×d＝×|m|，
因此，S2△OAB＝( 5－m2)×m2≤·()2＝1．
………………… 6分
又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．
所以，当5－m2＝m2，即m2＝， m＝±时，S△OAB取得最大值1．
………………… 8分
(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).
将直线l与椭圆C的方程联立，即．
将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，
x1＋x2＝，x1·x2＝ ．
………………… 10分
所以，
PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2
＝ （*）. …………………14分
由于PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，
所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±．
所以，k的值为±. …………………16分
19.解:（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),
对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,
解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；
（2）∵又函数f(x)在定义域上是单调函数，
∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.
若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,
即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥;
若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，
因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.
综上所述，实数b的取值范围是.
（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，
则h/(x) = - 3x2 +2x - ，
∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.
又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.
故当时,有f(x) ＜x3..
∵取则有
∴,故结论成立。
20解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得
(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，
因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． …………2分
因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．…4分
经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．
（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，
即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，由于an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ……6分
所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ …………8分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列， ………10分
由于a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an＝ …………12分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，
即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，
3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，
解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列． ………16分
综上所述，对任意正整数c，存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p，使得
ap＝c. ………………… 16分