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课时提升作业(十一)
一、选择题
1.(2021·渭南模拟)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)( )
(A)在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点
(B)在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点
(C)在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
(D)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
2.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为( )
(A)1+ (B)1-
(C)1 (D)1或1+
3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系
是( )
(A)x1<x2 (B)x1>x2
(C)x1=x2 (D)不能确定
4.(2021·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )
(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m有关
6.(2021·延安模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是( )
(A)(-,-2] (B)[-1,0]
(C)(-∞,-2] (D)(-,+∞)
7.若函数y=()|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是( )
(A)m≤-1 (B)m≥1
(C)-1≤m<0 (D)0<m≤1
8.（力气挑战题）(2021·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( )
(A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}
(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)
二、填空题
9.(2021·铜川模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为 .
10.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是 .
11.(力气挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图像在区间[-5,5]内的交点个数为 .
三、解答题
12.(力气挑战题)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点.
(2)若对x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证明必有一实根属于(x1,x2).
14.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)推断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出推断过程.
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.
答案解析
1.【解析】选D.f'(x)=-,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,3)上是减函数,又f(e-1)=e-1+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,∴f(e-1)·f(1)>0,f(1)·f(e)<0,故选D.
2.【解析】选D.g(x)=f(x)-x=
当x≥2或x≤-1时，g(x)=x2-2x-1，令g(x)=0得x=1+，
当-1<x<2时，g(x)=1-x，令g(x)=0得x=1.
3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图像如图所示,由图像知x1<x2.
4.【思路点拨】解答本题的关键是理解sgn(lnx)=lnx,依据符号函数sgn(x)的函数值知lnx=1或0或-1.
【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即
sgn(lnx)=lnx,∴lnx=1或lnx=0或lnx=-1,
∴x=e或x=1或x=.
5.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图像关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.
6.【解析】选A.由题意知函数M(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,则有
∴-<m≤-2.
7.【解析】选C.由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.
∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1,∴m∈[-1,0).
8.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,
∴f(x)=
函数f(x)的图像如图所示,
由图像知,当c<-1或-<c<0时,
函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.
9.【解析】函数g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与函数y=ex图像交点的个数，两函数的图像如图所示，由图像知，两函数图像有两个交点，从而函数g(x)有2个零点.
答案:2
10.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得
Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,
∴m的取值集合是{-3,0,1}.
答案:{-3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.依据原式将f(x)误认为是二次函数.
11.【思路点拨】依据周期性画函数f(x)的图像,依据对称性画函数g(x)的图像,留意定义域.
【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图像可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.
答案:8
12.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,
令f(x)=0,得x=3或x=-1.
∴函数f(x)的零点为3或-1.
(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,
∴b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,
所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,
解之得0<a<1,
因此实数a的取值范围是(0,1).
13.【证明】(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,∴函数f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=,
g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]
=.
∴g(x1)g(x2)=[]·[]
=-[f(x1)-f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0.
∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
即f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2).
14.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,
∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.
(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,
只需
即解得<a<.
【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.
【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,
当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=2或m=-2.
又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),
∴2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点,
∴这种状况不符合题意.
综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.
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