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课时提升作业(四十六)
一、选择题
1.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( )
(A)垂直于xOz平面的一条直线
(B)平行于xOz平面的一条直线
(C)垂直于y轴的一个平面
(D)平行于y轴的一个平面
2.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,-3,-4)两点的位置关系是( )
(A)关于x轴对称 (B)关于yOz平面对称
(C)关于坐标原点对称 (D)以上都不对
3.点P(1,0,2)关于原点的对称点P′的坐标为( )
(A)(-1,0,2) (B)(-1,0,-2)
(C)(1,0,2) (D)(-2,0,1)
4.在空间直角坐标系中,点P(3,1,5)关于xOz平面对称的点的坐标为( )
(A)(-3,1,5) (B)(-3,-1,5)
(C)(3,-1,5) (D)(-3,1,-5)
5.已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的棱长等于( )
(A)4 (B)2 (C) (D)2
6.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )
(A)x+y+z=-1 (B)x+y+z=1
(C)x+y+z=4 (D)x+y+z=0
7.(2021·咸阳模拟)在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形,则实数x的值为( )
(A)-2 (B)2 (C)6 (D)2或6
8.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′,则点M′关于原点对称的点的坐标为( )
(A)(-2,0,-3) (B)(-3,0,-2)
(C)(2,0,3) (D)(-2,0,3)
9.(2021·榆林模拟)若两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),则|BA|的取值范围是( )
(A)[0,5] (B)[1,5]
(C)(0,5) (D)[1,25]
10.(力气挑战题)已知四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1), C(3,7,-5),则点D的坐标为( )
(A)(,4,-1) (B)(2,3,1)
(C)(-3,1,5) (D)(5,13,-3)
二、填空题
11.给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为,则该点的坐标为 .
12.在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3,-1,2),其中心为M(0,1,2),则该正方体的棱长为 .
13.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于 .
14.已知三角形的三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则BC边上的中线长为 .
三、解答题
15.(力气挑战题)如图,正方体AC′的棱长为a,M为BD′的中点,点N在A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求|MN|的长.
答案解析
1.【解析】选A.y变化时,点P的横坐标为1,竖坐标为2保持不变,点P在xOz平面上的射影为P′(1,0,2),
∴P点的集合为直线PP′,它垂直于xOz平面,故选A.
2.【解析】选C.∵P,Q的横坐标、纵坐标及竖坐标均互为相反数,
∴P,Q两点关于坐标原点对称.
3.【解析】选B.由题意可知,原点是P和P′的中点,依据中点坐标公式,可得
P′(-1,0,-2),故选B.
4.【解析】选C.依据点关于面的对称点的性质和空间直角坐标系内点的坐标定义可知:两点的横坐标、竖坐标相同,纵坐标互为相反数.
5.【解析】选A.由于A(-1,2,-1),B(3,-2,3)是不在同一个表面上的两个顶点,所以它们是体对角线的两个端点,故体对角线长度等于|AB|==4,若设正方体的棱长为a,则有a=4,故a=4.
6.【解析】选D.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C应满足|AC|2=|BC|2,
即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得x+y+z=0.
7.【解析】选D.由题意知|AB|=|AC|,
∴
=,
∴7=,
∴x=2或6.
8.【解析】选C.由题意得,点M′的坐标为(-2,0,-3),故点M′关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).
【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧
(1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数.
(2)关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变.
(3)关于原点对称,三个坐标都变为原坐标的相反数.
(4)在空间直角坐标系中求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.
9.【思路点拨】利用两点间距离公式求出|BA|,然后结合三角函数学问求范围.
【解析】选B.
∵|BA|=
=
=,
∴≤|BA|≤,
即1≤|BA|≤5.
10.【解析】选D.由题意知,点A(4,1,3),C(3,7,-5)的中点为M(,4,-1),
设点D的坐标为(x,y,z),则
解得故点D的坐标为(5,13,-3).
11.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),
由题意得,|P0P|=,
即=,∴(x-4)2=25.
解得x=9或x=-1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
答案:(9,0,0)或(-1,0,0)
【误区警示】解答本题时简洁忽视对解的争辩而造成结果不全.
【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为 .
【解析】设点C的坐标为(0,0,z),
由条件得|CA|=|CB|,
即
=,
解得z=.
答案:(0,0,)
12.【解析】设棱长为a,∵A(3,-1,2),中心M(0,1,2),
∴C1(-3,3,2).
∴|AC1|=2,∴棱长a==.
答案:
13.【解析】设=λ,D(x,y,z),
则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),
∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.
∴=(-4,4λ+5,-3λ),
∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0,
∴λ=-,∴=(-4,,),
∴||==5.
答案:5
14.【解析】设BC的中点为D,则D(,,),即D(4,1,-2),
∴BC边上的中线长
|AD|==2.
答案:2
15.【思路点拨】依据正方体的特点建立空间直角坐标系,由|A′N|=3|NC′|数量关系确定点N的位置,由两点间距离公式求解.
【解析】以D为原点建立如图空间直角坐标系Oxyz,由正方体棱长为a,所以
B(a,a,0),A′(a,0,a),
C′(0,a,a),D′(0,0,a).
由M为BD′的中点,
取A′C′中点O′,
所以M(,,),
O′(,,a),由于|A′N|=3|NC′|,
所以N为A′C′的四等分点,从而N为O′C′的中点,
故N(,a,a).
依据空间两点间距离公式,可得|NM|=
=a,即MN的长为a.
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