2022届数学一轮(理科)人教A版课时作业-9-4直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) (　　)
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析　由<1，得>1，∴点P在圆外．
答案　B
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为 (　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
解析　易知圆心C坐标为(2，0)，则kCP＝＝－，
所以所求切线的斜率为.故切线方程为
y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案　D
3．(2021·甘肃诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是 (　　)
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
解析　由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：
(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，由于|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.
答案　C
4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为 (　　)
A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4
C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4
解析　由于直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.
答案　A
5．(2022·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
解析　由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度(如图)．由点到直线的距离公式得|OE|＝.所以圆C面积的最小值为π＝π.故选A.
答案　A
二、填空题
6．(2021·青岛质量检测)直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________．
解析　圆x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝，故弦长为2＝2＝.
答案　
7．(2022·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______．
解析　由题意知，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝，则a2＝1.
同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.
答案　2
8．(2022·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
解析　依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.
答案　4±
三、解答题
9．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
法一　(1)证明　由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
由于Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，由于k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
法二　(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4×11×8<0，
故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d<R，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　由平面几何学问，
知|AB|＝2＝2 ，下同法一．
法三　(1)证明　由于不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　由平面几何学问知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
10．(2021·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，得＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)由于圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，由于|MA|＝2|MO|，
所以＝2 ，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，
即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围是.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为 (　　)
A. B. C. D．2
解析　由两圆相外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，即ab的最大值是(当且仅当a＝b时取等号)，故选C.
答案　C

12．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析　由于圆心到直线的距离为＝2，
又由于圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，
圆上到直线的距离为1的点有3个．

答案　C
13．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析　法一　当x0＝0时，M(0，1)，由圆的几何性质得在圆上存在点
N(－1，0)或N(1，0)，使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.
若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，
应有∠OMB≥∠OMN＝45°，∴∠AMB≥90°，
∴－1≤x0＜0或0＜x0≤1.综上，－1≤x0≤1.
法二　过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin 45°≤1，
∴OM≤，∴OM2≤2，∴x＋1≤2，∴x≤1，∴－1≤x0≤1.
答案　[－1，1]

14．(2021·淮安一模)已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．
(2)若a＝，过点M作圆O的两条弦AC，BD相互垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
解　(1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，则a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，
kOM＝，k切＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)．
即x＋y－4＝0，
当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此时切线方程为y＋＝(x－1)．
即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d＋d＝OM2＝3.
又有|AC|＝2，|BD|＝2，
所以|AC|＋|BD|＝2＋2.
则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)
＝4×[5＋2]
＝4×(5＋2)．
由于2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，
所以(|AC|＋|BD|)2≤4×＝40.
所以|AC|＋|BD|≤2，
即|AC|＋|BD|的最大值为2.