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第5讲
不等式基本性质、含有确定值的不等式
1．(2021·佛山质检)求不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集．
解 由题意知，原不等式可化为：
或
或
解得x>3或x<－1，∴x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
2．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解 (1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．
(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，故ab＋1＞a＋b.
3．(2021·郑州二检)不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，求实数k的取值范围．
解 法一 依据确定值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.
故当k<－3时，原不等式恒成立．
法二 令y＝|x＋1|－|x－2|，
则y＝
－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．
故k<－3满足题意．
4．(2021·皖南八校联考)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 由确定值的几何意义易知：|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
5．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，求实数a的取值范围．
解 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
6．(2022·苏中三市调研)若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，求实数a的取值范围．
解 要使不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则a2－2a－1<(|x－1|＋|x－3|)min.
又(|x－1|＋|x－3|)min＝2，∴a2－2a－1<2，
即a2－2a－3<0，∴－1<a<3.
7．已知不等式|x＋1|－|x－3|>a.
(1)若不等式有解；
(2)不等式的解集为R；
(3)不等式的解集为∅，分别求出a的取值范围．
解 法一 由于|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，
即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
由确定值的几何意义知，PA－PB的最大值为AB＝4，
最小值为－AB＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a<4.
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，
只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a<－4.
(3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.
法二 由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4.
|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4.
可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
(1)若不等式有解，则a<4；
(2)若不等式的解集为R，则a<－4；
(3)若不等式解集为∅，则a≥4.
8．(2021·南京四校调研)已知一次函数f(x)＝ax－2.
(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|<4；
(2)解关于x的不等式|f(x)|<4；
(3)若不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝3时，则f(x)＝3x－2，
∴|f(x)|<4⇔|3x－2|<4⇔－4<3x－2<4⇔－2<3x<6⇔－<x<2，∴不等式的解集为.
(2)|f(x)|<4⇔|ax－2|<4⇔－4<ax－2<4⇔－2<ax<6，
当a>0时，不等式的解集为；
当a<0时，不等式的解集为.
(3)|f(x)|≤3⇔|ax－2|≤3⇔－3≤ax－2≤3
⇔－1≤ax≤5⇔
∵x∈[0,1]，∴当x＝0时，不等式组恒成立；
当x≠0时，不等式组转化为.
又∵≥5，≤－1，∴－1≤a≤5且a≠0.
9．(2022·泰州调研)设函数f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．
解 (1)由于f(x)＝则函数y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当a≥或a<－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点，故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
10．设函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，若不等式|a＋b|－|2a－b|≤|a|·f(x)对任意a、b∈R且a≠0恒成立，求实数x的范围．
解 由f(x)≥，对任意的a、b∈R，且a≠0恒成立，而≤＝3，f(x)≥3，
即|x－1|＋|x＋1|≥3，解得x≤－，或x≥，
∴实数x的范围为.
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