资源描述
数系的扩充与复数的引入
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(江西高考)已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
解析：选C 由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，故z＝＝＝－4i.
2．复数＋的虚部是( )
A.i B.
C．－i D．－
解析：选B 由于＋＝＋＝＋＝，所以＋的虚部是.
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B ∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0.∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
4．若复数z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)为纯虚数，则|z|等于( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选A ∵z＝x－1＋(x＋1)i为纯虚数且x∈R，
∴得x＝1，z＝2i，|z|＝2.
5．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D z＝＝＝＝－1＋i，
所以其共轭复数为＝－1－i.
6．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i B．－3－2i
C．2－3i D．3－2i
解析：选B 设D(x，y)，由平行四边形对角线相互平分得
∴∴D(－3，－2)．
∴对应复数为－3－2i.
7．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋ 2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：选A 由于z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋ 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.故z2＋ 2的虚部为0.
8．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点位于其次象限，则实数m的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，－2)
C．(－2,0) D．(3,4)
解析：选D 整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应的点位于其次象限，则解得3＜m＜4.
9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：选A 由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
10．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：选B 由于1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，
则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在复平面内，若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________．
解析：由已知得∴4<k2<6，
∴k∈(－，－2)∪(2，)．
答案：(－，－2)∪(2，)
12．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
解析：a＋bi＝＝＝＝5＋3i，
依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
答案：8
13．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
解析：＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝ ＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
答案：
14．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
16．(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
解：由于z2＝＝＝＝＝1－3i，所以
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
17．(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．
解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，＝a－2＋i，
∴|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝ ，
又∵|z1|＝，|z1－|＜|z1|，
∴ ＜，
∴a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.
∴a的取值范围是(1,7)．
18．(本小题满分14分)已知z是复数，z＋2i，eq \f(z,2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．,解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，,由z＋2i为实数，得y＝－2.,∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，依据条件，可知
解得2<a<6.
∴实数a的取值范围是(2,6)．
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