八年级数学学案-图形的平移与旋转知识点+考点资料.doc

第三讲：图形的平移与旋转 【知识精讲】知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系（1）区别。三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。（2）联系。它们都在平面内进行图形变换它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。知识点2 组合图案的形成（1）确定图案中的“基本图案”。（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。知识点3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。 移动图形一般有三种方法： （1）平移法。 （2）旋转法：利用旋转变换。 （3）对称：可利用中心对称和轴对称。知识点4 欣赏现实生活中的一些精美图案通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。知识点5 图案设计的步骤1、整体构思（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）。（3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成。再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。2、具体作图根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。【典型例题】例1. 如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。 分析：假设桥为MN，从AB要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AMNB最小即可。 例2. 在ABC的边BC上，取两点D、E，使BDCE，观察ABAC与ADAE的大小关系。 分析：四条线段AB、AC、AD、AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。 证明：将AEC沿EB的方向平移到FBD位置 FBAE，FDAC 设FD与AB的交点为O 在AOD中，AOODAD 在FOB中，FOOBFB 例3. 已知：ABCD1，AB与CD交于O点，DOB60，比较ACBD与1的大小。 分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。 解： 证明：过C作CEAB，过B作BEAC，连结DE 四边形ABEC为平行四边形 ACBE，ABCE DOB60，ABCE DCE60 ABCD1 CECD1 DCE为等边三角形 DE1 在DEB中，DBBEDE 即DBAC1 例4. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分EAD交CD于点F，说明AEBEDF的理由。 分析：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。 解：把ADF绕点A顺时针旋转90，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F的位置，根据旋转的性质得： 31，FBFD，AFBAFD ABCD为正方形 DABF90 F、B、E、C在一条直线上 又12EAB90 32EAB90 FAE290 又AFD190 AFB190 12 FAEAFB AEFEFBBEFDBE 例5. 如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针旋转90，使AB与CB重合，BP到达BP处，AP到达CP处，若AP的延长线正好经过P，求APB的度数。 分析：此题运用旋转将ABP绕点B顺时针旋转90，根据旋转性质求出BPC的度数即可。 而BPC又是BPP与CPP之和，可各个击破，从而得解。 解：由旋转的性质及特征可知： PBP90，APPC，BPBP 在BPP中， 又AP的延长线正好经过P点 APC90 BPCAPCBPP135 从而可得APB135 例6. 已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AEFG。 求证：AEFG 分析：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。 证明：延长AB至F使BFBE，连结CF 正方形ABCD ABCB，ABC90 又CBF90，BEBF ABE绕点B顺时针旋转90可得CBF AECF，AECF FGAE FGCF 又正方形ABCD，ABCD 四边形GFFC为平行四边形 CFFG AEFG 例7. 如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PEAD于E，PFCD于F。 求证：（1）OEOF （2）OEOF 分析：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。 证明：正方形ABCD ADC90，DAC45 DEAD，PED90 PFCD，PFD90 四边形EPFD为矩形 PEDF 又PED90，DAC45 APE45 AEP中，AEPE AEDF 正方形ABCD为中心对称图形 AOD绕点O顺时针旋转90与DOC重合 A与D为对应点 又AEDF E与F为对应点 由旋转变换的特征知：OEOF，OEOF 例8. ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AEBFCD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。 （1）求1的度数； （2）判断GMH的形状。 分析：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60，1是BCH的外角，可知123。 而24 14360，从而得证。 解：（1）等边ABC是旋转对称图形，且AEBFCD 所以，ABC绕旋转中心旋转120后，AEC、BFA、CDB能够重合 24 由123 14360 （2）同理可得：GMHMGH60 GMH是等边三角形【同步拓展训练】 1. 两个长为12cm的线段AB与CD相交于点O，AOD120，判断ACBD的最小值。 2. 如图ABC中，BAC90，P是ABC内一点，将ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与ACQ重合，如果AP3，那么APQ的面积是多少？ 3. ABC是等边三角形，D为BC边上一点，CDE也为等边三角形，请你画出将ACD以C点为旋转中心，逆时针方向旋转60后的三角形，并说明AD与BE的关系。 4. 在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P，若，求DP的长。 5. ABC中，BAC120，以BC为边向形外作等边BCD，把ABD绕点D顺时针方向旋转60到ECD的位置，若AB3，AC2。 （1）求BAD的度数； （2）求AD的长。【模拟试题】（答题时间：40分钟）A卷一、选择题1. 国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（ ）A. 轴对称B. 平移C. 旋转D. 平移和旋转2. 起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的（ ）A. 轴对称B. 平移C. 旋转D. 变形二、填空题3. 广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_等。4. 将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是_。5. 以等腰直角ABC的斜边AB所在的直线为对称轴，作这个ABC的对称图形，则所得到的四边形ACBC一定是_。6. 国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案_经过_运动得到。7. 利用电脑，在同一页面上对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作是一个基本图形通过_得到的。三、解答题8. 如图，是一个可以自由转动的圆盘，圆盘被分成6个全等的扇形.它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的？9. 如图，一栅栏顶部是由全等的三角形组成，下部分是由全等的矩形组成.请你运用平移、旋转、轴对称分析说明这个图形的形成过程。10. 请你分析下面图案的形成过程。11. 下图是两个全等的直角三角形，请问怎样将BCD变成EAB？12. 以一直角三角形为“基本图形”，利用旋转而得到一个风车风轮图案.你能设计出几种风车风轮图案呢？请将你的图案画出来，完成后与同学进行交流。13. 将底边水平放置的等腰三角形沿底边的垂直平分线分别向上、向下平移1厘米，得到一组等腰三角形，连同垂直平分线形成的图案你能给出它的含义吗？将得到的图案作为“基本图案”作两次适当的平移形成一组图案。这一组图案又有什么意义呢？14. 请充分发挥你的想象力，任意设计一个有意义的图案，完成后与同学交流你的作品。15. 下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？（1）（2）（3）16. 怎样将下图中的甲图变成乙图？17. 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，（1）求证：ABEADF。（2）阅读下列材料：如图，把ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到ECD的位置；如图，以BC为轴把ABC翻折180，可以变到DBC的位置；如图，以点A为中心，把ABC旋转180，可以变到AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。请回答下列问题：在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE变到ADF的位置？指出图中线段BE与DF之间的关系.B卷1、将如图1所示的RtABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体的左视图是（）DABCCBA图1 2、如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么AEG的面积的值 （ ） ABCDGEF第3题图A与m、n的大小都有关 B与m、n的大小都无关C只与m的大小有关 D只与n的大小有关3、如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且，CE由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是：（ ）A、 B、 C、 D、无法确定 （第4题图） （第5题图） （第6题图）4、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形，则图中阴影部分面积为（ ）A、 B、 C、 D、5、如图，点P是等边三角形ABC内部一点，则以PA、PB、PC为边的三角形的三内角之比为（ ）A、2：3：4 B、3：4：5 C、4：5：6 D、不能确定6、如图，正方形网格中，ABC为格点三角形（顶点都是格点），将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到（1）在正方形网格中，作出；（不要求写作法）BCA（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积（结果保留）第7题图7、已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明MBCN图3AD（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由BCNM图2ADBCNM图1AD8、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果的周长为2，求的度数。图乙图甲 9、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90后得到矩形AMEF（如图甲），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，ADB=30试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；小红同学用剪刀将BCD与MEF剪去，与小亮同学继续探究他们将ABD绕点A顺时针旋转得AB1D1，AD1交FM于点K（如图乙），设旋转角为(0 90), 当AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；10、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，。思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板拼成一个正方形。”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。11、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由 12、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数ABCDP试题答案一、1. D 2. B二、3. 旋转 4. 圆 5. 正方形 6. 圆环 四次平移 7. 平移三、810略11. DCB先以C为旋转中心逆时针旋转90，然后再向右平移，使点C与A重12. 略13. 树 森林14. 略15. 第一幅图是由基本图形“A”经过平移或旋转而得到的。第二幅图是由基本图形“B”旋转而得到的。第三幅图是由基本图形“”向上旋转180再向下平移而得到的。16. 将甲图向右平移一定距离再顺时针旋转一定角度而得到的。17. （1）证明：ABCD为正方形AB=AD，DAB=DAF=90又AF=AB，AE=ADAF=AE，ADFABE（2）将ABE绕点A逆时针旋转90而得到AFD。BEDF，BE=DF12