人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点复习课程.doc

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第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。形如：
例1．关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.
【答案】≠4，=4
【解析】
试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.
由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.
考点：一元二次方程，一元一次方程
点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
例2．关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
【答案】m≠-1且m≠2
【解析】
试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。
由题意得m2-m-2≠0，解得m≠-1且m≠2.
考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件
点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0.
2、a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 （ ）
A．3，-6，1 B．3，6，1
C．3x2,6x，1 D．3x2,-6x，1
【答案】A
【解析】
试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1．
故选A．
考点：一元二次方程的一般形式．
例2．若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）
A．＞0 B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c都是常数，且a≠0）．根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．
考点：一元二次方程的定义．
例3．请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________．
【答案】（x+1）（x－1）=0（不唯一）
【解析】
试题分析：本题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以．
考点：一元二次方程的解．
例4．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ．
【答案】m≠2．
【解析】
试题解析：由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得m≠2．
考点：一元二次方程的定义．
例5．关于x的方程是一元二次方程，则a=_________．
【答案】3．
【解析】
试题分析：是方程二次项，即，解得：a=3．故答案为：3．
考点：一元二次方程的定义．
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。
例1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36
B．（x﹣6）2=4+36
C．（x﹣3）2=﹣4+9
D．（x﹣3）2=4+9
【答案】D
【解析】
试题分析：本题考查了利用配方法解一元二次方程，一般步骤：
第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第二步：方程两边同时除以二次项系数；
第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m）2=n的形式；
第四步：用直接开平方解变形后的方程．
解：x2﹣6x﹣4=0，
移项，得x2﹣6x=4，
配方，得（x﹣3）2=4+9．
故选：D．
考点：解一元二次方程-配方法．
例2．若把代数式化为的形式，其中为常数，则 ．
【答案】-3
【解析】配方得=，所以m=1，k=-4，则-3.
例3．用配方法解方程：
【答案】
【解析】
∴
例4．用配方法解方程
【答案】

，
【解析】利用配方法求解
21.2.2 公式法
1.
（1）
（2）
（3），方程无实数根
求根公式：
例1．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，可由=9-8=1＞0，可知其有两个不相等的实数根．
故选A
考点：根的判别式
例2．方程x2＋4x－2=0的根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根
B．两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【解析】
试题分析：先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选答案：A
考点：根的判别式．
例3．若关于x的方程(m－1)x2－2mx＋(m＋2)=0有两个不相等的实根，则m的取值范围是________．
【答案】m＜2且m≠1．
【解析】
试题解析：根据题意列出方程组

解之得m＜2且m≠1．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
21.2.3 因式分解法
先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
韦达定理：
例1．用因式分解法解方程9=x2－2x+1
（1）移项得__________；
（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；
（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；
（4）分别解这两个一次方程得x1=__________,x2=__________.
【答案】9－(x2－2x+1)=0，32－(x－1)2=0，(3－x+1)(3+x－1)=0，4，－2
【解析】
试题分析：根据因式分解法解方程的步骤依次分析即可得到结果.
用因式分解法解方程9=x2－2x+1
（1）移项得9－(x2－2x+1)=0；
（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得32－(x－1)2=0；
（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得(3－x+1)(3+x－1)=0；
（4）分别解这两个一次方程得x1=4，x2=－2.
考点：因式分解法解一元二次方程
点评：熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
例2．用因式分解法解方程
【答案】
，
【解析】利用因式分解法求解。
例3．用因式分解法解方程：x2-2x+3=0；
【答案】x1=x2=
【解析】
试题分析：先根据完全平方公式分解因式，即可解出方程。
x2-2x+3=0
（x-）2=0
解得x1=x2=.
考点：本题考查的是解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：
21.3实际问题与一元二次方程
实际问题要符合实际，看方程的根符合实际吗？不符合要舍去

例1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121
C．100（1+x）2=121 D．100（1﹣x）2=121
【答案】C
【解析】
试题解析：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2=121，
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
例2．在一次学习交流会上，每两名学生握手一次，经统计共握手253次．若设参加此会的学生为名，根据题意可列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：参加此会的学生有x名,则每名同学需握手（x-1）次，x名同学一共握手x（x-1）次，而两名学生握手一次，所以应将重复的握手次数去掉，由此可列出方程x（x-1）=253，即，故答案选D．
考点：一元二次方程的应用．
例3．某种手机经过四、五月份连续两次降价，每部手机由3200元降到2500元。设平均每月降价的百分率为，则根据题意列出的方程是（ ）.
A、 B、
C、 D、
【答案】A.
【解析】
试题分析：依题意得：两次降价后的售价为3200（1-x）2=2500.
故选：A.
考点：由实际问题抽象出一元二次方程.
例4．某学校准备建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为：（ ）
A、x（x-10）=200 B、2x+2（x-10）=200
C、x（x+10）=200 D、2x+2（x+10）=200
【答案】C
【解析】
试题分析：宽为x米，则长为（x+1）米.S=长×宽，即x（x+10）=200.
考点：一元二次方程的应用.
例5．某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件，若使商场投资少，收益大，那么该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得350元？
【答案】25元．
【解析】
试题分析：设售价定为每件x元，由：利润=每件利润×销售量，列方程求解．
试题解析：解：设售价定为每件x元，则每件利润为（x﹣8）元，销售量为[100﹣（x﹣10）×10]，依题意，得（x﹣8）[100﹣（x﹣10）×10]=360，整理，得，解得=14．
答：他将售出价定为每件14元时，才能使每天所赚利润为360元．
考点：一元二次方程的应用．
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