(人教版)第二十一章+一元二次方程(知识点汇总+归类总结+题型汇总).doc

（人教版）第二十一章 一元二次方程
（知识点汇总+归类总结+题型汇总）
：
一、一元二次方程的概念
1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是 ，
主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．
3．公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时，x＝____________.
4．用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__________．
三、一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程根的判别式是__________．
2．(1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
四、一元二次方程根与系数的关系
1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.
注意：（1）
（2）；
五、实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1) 审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．
一元二次方程的定义：
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是(　 　)
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
2.下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
3.关于x的一元二次方程（a2—1）x2+x—2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A. a≠1 B. a≠—1 C. a≠±1 D.为任意实数

4.一元二次方程化为一般形式为： ，
二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
5.关于x的方程,当 时为一元一次方程；
当 时为一元二次方程。
6. 关于的方程的一个根为-1，则方程的另一个根为______，______。。
7.已知m是方程的一个根，则______________。
8.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.0
解一元二次方程：
1.选用合适的方法解下列方程
．

3＝2x； x（3x－1）＝3－x； 4（x－2）－（3x－1）＝0；

（2x－1）＋3（2x－1）＋2＝0； 3＝0．； x（2x+3）=4x+6

2.配方法解方程x2—4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.解方程（5x—1）2=3（5x—1）的适当方法是（ ）
A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4.等腰三角形的底和腰分别是方程的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D． 不能确定

5.若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A. 1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定
6.关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
7. 用配方法解方程,则下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
8. x2+3x+ =（x+ ）2 ；x2— +2=（x ）2
9.若，则=
10.当_________时，方程的一个根是2
11. 代数式的最小值是__________
12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程_______________________
13.如果x2－2(m+1)x + m2+ 5=0是一个完全平方公式，则m　　　　.
14.当m为　　　　时，关于x的方程(x－p)2+m=0有实数解.
根与系数的关系：
切记：不要忽略≠0
注意：一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．
1. 关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是( )
A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]
C、有两个相等的实数根 　　 D、没有实数根
2．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a＜2 B．a＞2[来源:学|科|网Z|X|X|K ] C．a＜2且a≠1 D．a＜－2
3.关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是(　　)
A．0 B．8 C．4± D．0或8
4.已知三角形的两边长是方程x2—5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）
A. 1＜L＜5 B. 2＜L＜6 C. 5＜L＜9 D. 6＜L＜10
5.方程x2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长为（ ）
A. 12 B. 12或 15 C. 15 D. 不能确定
6.若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是(　　)
A．4 B．3 C．－4 D．－3
7.若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
8.设是方程的较大的一根，是方程的较小的一根，则（    ）
  A. —4          B. —3       C. 1               D. 2
9.已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

10. 已知方程
(1)求证方程必有相异实根。
（2）取何值时，方程有两个正根。
（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）取何值时，方程有一根为零？

11.已知是三角形的三条边，求证：关于的方程没有实数根.

一元二次方程解决实际问题：
【增长率（降低率）】 总结：增长率问题：起始值a，终止值b，变化率x
上升a（1+x）2=b a（1+x）n=b
下降a（1—x）2=b a（1—x）n=b
1. 某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为 元。
2.某小区准备在两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽10米，设长方形绿地的宽为米，则可列方程为___________
3.某同学存入300元的活期储蓄，存满三个月时取出（利息按单利息计算），共得本息和为302.16元，则活期储蓄的月利率为（ ）
A、0.24%； B、0.24； C、0.72； D、0.82。
4.县化肥厂第一季度增产吨化肥，以后每季度比上一季度增产x，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）
A． B． C． D．
5.某商品原价200元，连续两次降价％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200=148 B．200=148
C．200=148 D．200=148
6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.
A．12 B．10 C．9 D．8
7.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?

8.某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?

【数字问题】
【规律】两位数=十位数上的数字×10+个位数字；
三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字。
（一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他数位上的数字为不大于9的非负整数。）
1.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置之后，得到新的两位数比原来两个数字的积还大38，求这个两位数。

【利润问题】解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；
②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％ ；
③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出。
1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

2.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？

3.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则第二次采购玩具多少件？

【面积问题】
1.学校课外生物小组的试验园地是长35米，宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）