人教版初中数学第六章实数知识点知识讲解.doc

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第六章 实数
6.1 平方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）.
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
正数a的平方根记做“”.
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”.
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.
；注意的双重非负性：
例：求下列各数的算术平方根
（1）；（2）；（3）.
例：若数的平方根是和，求的值.
解： ∵负数没有平方根，故必为非负数.
（1）当为正数时，其平方根互为相反数，故（）+（）=，解得，故=，，从而.
（2）当为时，其平方根仍是，故且，此时两方程联立无解.
例：估计＋1的值是（ ）
（A）在2和3之间 （B）在3和4之间
（C）在4和5之间 （D）在5和6之间

6.2 立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）.其中3是根指数.
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.
例：已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根.
分析：由算术平方根及立方根的意义可知
，解方程组，得：
代入已知条件得：，∴
故M＋N的平方根是±.
6.3 实数
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
整数包括正整数、零、负整数.
正整数又叫自然数.
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数.

2、无理数：无限不循环小数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等
例：在所给的数据: ，，，，， …(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( B ).
(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个
3、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立.
4、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，.零的绝对值是它本身，若，则；
若，则.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.
5、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数.
例：比较的大小.
①当时，取，则，显然有
②当时，，
③当时，仿①取特殊值可得
例：解方程.
解：∵
∴x+1看着是36的平方根. .
∴， .
例：已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．
解：由2a－1+a－11=0，得a=4，∴2a－1=2×4－1=7．
∴这个数为72=49．
例：已知2a－1和a－11是一个数的平方根，求这个数．
解：根据平方根的定义，可知2a－1和a－11相等或互为相反数．
当2a－1=a－11时，a=－10，∴2a－1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;
当2a－1+a－11=0时，a=4，∴2a－1=7，这时所求得数为72=49.
综上可知所求的数为49或441.
实数大小进行比较的常用方法
方法一：差值比较法
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b.当a－b﹤0时，得到a﹤b.当a－b＝0，得到a=b.
例1：（1）比较与的大小. （2）比较1－与1－的大小.
解 ∵－＝＜0 ， ∴＜.
解 ∵（1－）－（1－）=＞0 ， ∴1－＞1－.
方法二：商值比较法
商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商.当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b.来比较a与b的大小.
例2：比较与的大小.
解：∵÷=＜1 ∴＜
方法三：倒数法
倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b.来比较a与b的大小.
例3：比较－与－的大小.
解∵=+ ， =+
又∵+＜+
∴－＞－
（超纲，不作要求）方法四：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小.
例5：比较与的大小
解：， =8+2.
又∵8+2＜8+2 ∴＜.
方法五：估算法
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.
例4：比较与的大小
解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜
方法六：移动因式法（穿墙术）
移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.
例6：比较2与3的大小
解：∵2==，3==.
又∵28＞27， ∴2＞3.
方法七：取特值验证法
比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单.
例7：当时，，，的大小顺序是______________.
解：（特殊值法）取=，则：=，=2.
∵＜＜2，∴＜＜.
例：设a＝20，b＝(－3)2，c＝，d＝，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（　　）
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析　可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解：∵a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，∴c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题.能快速地取得令人满意的结果.

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